Matematické Fórum

unknow005 · 24. 02. 2014 08:23

Dobrý den,

mohl bych zde poprosit zkušené matematiky o malou pomoc s výpočtem průniku:
1) dvou válců (osově souběžné)
2) válce a roviny

Rád bych si naprogramoval aplikaci, která by mi po zadání vstupních parametrů vysypala body (X,Y,Z) společného průniku. K průniku dvou válců jsem našel příspěvek zde: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=18972 ale moc nerozumím proměnné "t". Má být podmnožinou nějakých bodů, ale nevím min a max. Pokud by mi byl někdo tak laskavý a popsal krok po kroku jak postupovat abych se dobral k výsledu, byl bych moc vděčný.

Pro jistotu přikládám nákres.
Děkuji za rady!

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/26379_pruniky.png

Rumburak

↑ unknow005:
Zdarvím.

Ta proměnná $t$ probíhající uvedený interval je parametr z rovnic té křívky.

Křivka $k$ v prostouru je spojitým obrazem nějakého čííselného intervalu $I$ , což se dá vyjádřit parametrickými rovnicemi

$x = f(t) , y = g(t) , z = h(t) , t \in I$ ,

kde $x, y, z$ jsou souřadnice bodu křivky odpovídající hodnotě patanetru $t$ , $f, g, h$ jsou spojité funkce.

Příklady:

(1) $x = a + tu , y = b + tv , z = c + tw , t \in (-\infty, +\infty) , \max\{|u|, |v|, |w|\} > 0$

jsou parametrické rovnice přímky procházející bodem $[a, b, c]$ ve směru vektoru $(u, v, w)$ ,

(2) $x = a + r \cos t , y = b + r \sin t , z = 0 , t \in \langle 0, 2\pi) , r > 0$

jsou parametrické rovnice kružnice ležící v rovině $z = 0$ a mající střed v bodě $[a, b, 0]$ a poloměr $r$ .

Tyto věci jsou probírány v tzv. analytické geometrii.

unknow005

Dobrý den pane Rumburak,

vysvětlujete to skvěle, avšak jelikož mám pouze střední školu, tak bych se zeptal ještě poněkud hloupěji. Když vezmu Váš vzoreček pro průnik dvou válců:

$x \,=\,-R(1\,-\,\cos\,t)$
$y \,=\,R\,\sin\,t$
$z\,=\,-R(1\,-\,\cos\,t)\,\cot\,\alpha \,\pm\,\frac{\sqrt{r^2\,-\,R^2\sin^2 t}}{\sin\, \alpha}$
$t\,\in\,[-\arcsin \frac{r}{R}\,, \,\,\arcsin \frac{r}{R}]$

Plátí výše uvedené k přiloženému obrázku z prvního příspěvku?
X,Y,Z jsou body v 3D prostoru popisující křivku $k$ . Do programu se budou zadávat poloměry obou trubek a úhel který svírají jejich osy. Poloměry budou přibližně od 10mm do 500mm. Když budu za $t$ dosazovat nějaká čísla, v nějakém rozsahu, tak bych se měl dopočítat bodů které když si složím, budou mi dávat výslednou křivku $k$ ? Kdybych chtěl mít například body na křivce (každý 1 mm od sebe), co mám za $t$ dosadit?

Ještě dotaz -
bylo by možné rozepsat vzoreček pro parametr Z? Mate mě hlavně ten $sin^2$ .

momentálně bych to zapsal takto:
x = -R * (1 - cos(t))
y = R * sin(t)
z = -R * (1 - cos(t)) * cot(alpha) +- ( sqrt((r*r) - (?????) * t ) / sin(alpha)

Děkuji.

Rumburak

↑ unknow005:

Pokusím se zodpovědět Vaše dotazy.

Plátí výše uvedené k přiloženému obrázku z prvního příspěvku?

Ano, samozřejmě pokud roury "umístíme" do soustavy souřadnic tak, jak je v tom příspěvku uvedeno.

Kdybych chtěl mít například body na křivce (každý 1 mm od sebe), co mám za $t$ dosadit?

Nabízí se možnost rozdělit interval $I = [ -\arcsin \frac{r}{R}\,, \,\,\arcsin \frac{r}{R}]$ rovnoměrně na $n$ dílků stejné délky

(1) $\Delta = \frac{2}{n}\arcsin \frac{r}{R}$ ,

kdy delícími body (včetně krajních) budou

$t_k = -\arcsin \frac{r}{R} + k\Delta, t_{k+1} = t_k + \Delta, ( k = 0, ... , n)$ .

Číslu $t_k$ pak odpovídá bod $X_k$ ležící na té křivce . Vzdálenost $\|X_{k+1}- X_k\|$ dvou sousedních "dělících"
bodů křivky odhadneme shora pomocí derivací funkcí $x(t), y(t) , z(t)$ z těch parametrických rovnic
$x = x(t), y = y(t) , z = z(t)$ :

$\|X_{k+1}- X_k\| = \sqrt{(x(t_{k+1}) - x(t_{k}))^2 +(y(t_{k+1}) - y(t_{k}))^2 +(z(t_{k+1}) - z(t_{k}))^2}\le \\ \le \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \Delta$ ,

kde $A = \max_{t \in I} |x'(t)| , B = \max_{t \in I} |y'(t)| , C = \max_{t \in I} |z'(t)|$ .

Takže chceme-li zajistit, aby pro všecbna uvažovaná $k$ platilo $\|X_{k+1}- X_k\| \le \varepsilon$ , volíme $\Delta$ tak, aby platilo
$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \Delta \le \varepsilon$ , odtud a z (1) určíme vhodné přirozené číslo $n$ .

bylo by možné rozepsat vzoreček pro parametr Z? Mate mě hlavně ten $sin^2$ .

$\sin^2 t = (\sin t)^2$ .

unknow005

Pro lepší vysvětlení problémku jsem nakreslil nový obrázek. Díky Rumburakovi mám teď průnik dvou trubek tj. množinu bodů XYZ.

Když bych chtěl trubku prohnat skrz rovinu, stačilo by pomocí YZ bodů nakreslit 2D plán. Jenže to nelze aplikovat na trubku z důvodu zakřivené plochy trubky! Musím každý bod nějak "přepočítat". Výsledný plán bude "šiška" kterou když vypálim do větší trubky (rychlost otáčení bude daná převodem pro průměr trubky), tak menší trubka projde skrz! Počítáme, že trubky mají nulovou tloušťku.

Nějaký nápad / rada co provést s průnikem trubek tak abych mohl vytvořit 2D pálicí plán?

Děkuji!

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/96963_pohled_otoc.png

Honzc · 26. 02. 2014 14:06

↑ unknow005:
Zdravím,
zkus se podívat nejdříve (myslím, že je možnost i zdarma stáhnout nějakou očesanou verzi) Sem
Podrobněji někdy příště.

unknow005

↑ Honzc:

Zdravím,
ten software neznám, nevlastním ani žádný AutoCAD. Možná jsem se v minulém příspěvku špatně vyjádřil - neznám pokročilou matematickou terminologii...

Momentálně si dokážu vygenerovat průnik dvou trubek (křivku) v prostoru. Každý bod je XYZ souřadnice. Jak se provede "rozvin" 3D křivky do 2D?

Ještě bych měl dotaz - když bych chtěl křivku natáčet v jedné ose o určitý počet stupňů, jaký vzoreček použít (natáčení třeba okolo prvního bodu)?

Děkuji.

Rumburak

↑ unknow005:.

Ještě k tomu průniku válcové plochy s rovinou.

Válcová plocha, jejíž osou je souřadnicová osa $z$ , má rovnici $x^2 + y^2 = R^2$ , kde $R$ je její poloměr.
Má-li rovina řezu rovnici $z = mx + ny + c$ , pak jejím průnikem s touto válcovou plochou bude elipsa,
jejíž parametrické vyjádření v prostoru lze pořídit rovnicemi

$x = R \cos t , y = R \sin t , z = mR \cos t + nR \sin t + c , t \in \langle 0 , 2\pi)$ .

unknow005 · 27. 02. 2014 11:51

↑ Rumburak:

Mohl bych se ještě prosím optat jak se zbavím $m$ , $n$ , $c$ ? Patrně se v tom nějak promítne úhel $\alpha$ ?

Děkuji.

Rumburak

↑ unknow005:

Můžeme vzít speciální případ roviny, kdy její rovnice je $z = mx + c$ (rovina je rovnoběžná s osou $y$ ) .
Potom platí $m = \tan \alpha$ (tangens) , kde $\alpha$ je vhodně zvolený úhel představující odchylku
roviny řezu od roviny $z = 0$ - jde o obdobu směrnice přímky.

Konstantou $c$ je určen posun roviny ve xměru osy $z$ , tedy umístění toho řezu ve "svislém" směru.
Při volbě $c = 0$ bude středem té elipsy počátek soustavy souřadnic..

unknow005

↑ Rumburak:

Použil jsem tedy tento vzorec pro $z$ :
$( tan(\alpha) * R * cos(t) ) + ( R * sin(t) )$

Patrně jsou ale pomíchané roviny? Ty by měli být jako u průniku dvou trubek. Menší trubka ale bude nahrazena rovinou, tj. při 90° bych měl vidět jen čáru (příčný řez trubky). Uhel 45° by měl být vajíčko.

Napadlo mě prohazovat $sin$ a $cos$ ale moc si s tím jistý nejsem. Nějaká rada / tip?

Díky!

Honzc · 27. 02. 2014 14:04 — Editoval Honzc (27. 02. 2014 14:20)

↑ unknow005:
Podívej se na obrázky

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pokud se ti bude zdát, že hlavice jezdí ve všech osách, pak věz, že je to optický klam, a hlavice jezdí pouze v ose y.
souřadný systém umístěme do osy trubku tak, že počátek je třeba uprostřed délky, y směřuje v ose dozadu (a osa z nahoru - ta ani osax nejsou tak důležité)
Při vypalování budeme trubkou natáčet a zároveň buď budeme jezdit stolem (nebo vypalovací hlavicí) v ose y. Předpokládá to, že při určité změně úhlu umíme pojet hlavicí na určitou hodnotu
Podle vztahů
$y=\frac{R}{\sin \alpha }((\cos t-1)\cos \alpha +\sqrt{(\frac{r}{R})^{2}-\sin ^{2}\alpha })$ pro "zadní" část křivky a
$y=\frac{R}{\sin \alpha }((\cos t-1)\cos \alpha -\sqrt{(\frac{r}{R})^{2}-\sin ^{2}\alpha })$
pro "přední" část křivky
si pro $t\in \langle-arc\sin \frac{r}{R},arc\sin \frac{r}{R}\rangle$ spočítáš hodnoty y, tj. polohy hlavice nebo stolu. (upozorňuji, že R je vnitřní průměr trubky)
Prakticky bych to viděl takto: (předpokládejme, že můžeš jezdit hlavicí v ose y, pokud ne a jezdíš stolem pak je to stejné, jenom pohyb je obráceně, na druhou stranu)
Upneš trubku do natáčecího zařízení.
Nad povrch trubky umístíš hlavici tak, aby byla od výchozího bodu vzdálena v ose y o vypočítanou hodnotu pro $t=-arc\sin \frac{r}{R}$
Pak budeš trubkou otáčet (osa otáčení=osa trubky) od 0 do úhlu $2arc\sin \frac{r}{R}$ a pro každé natočení spočítáš y-hodnotu polohy hlavice. (Do výpočtu budeš ovšem dosazovat parametr t (úhel) takový, že nulovému matočení trubky bude odpovídat $t=-arc\sin \frac{r}{R}$ ). Tak dojedeš na konec úhlu a při otáčení nazpět budeš y-ovou hodnotu počítat z druhého vztahu.
Jestli ovšem nelze nějak svázat natáčení s posuvem, pak jsi nahraný.
Ono totiž každému stejnému kroku v otáčení bude odpovídat jiný posun v ose y.

unknow005 · 27. 02. 2014 14:57

↑ Honzc:

Jj, hořák bude umístěný v ose trubky s pohybem v ose Z. (z pohledu hořáku je osa Z vertikální, Y horizontální a X hloubka) Tloušťku trubky raději vynechávám, jelikož si to sám neumím ani moc představit. Zkouším proto trubku s nekonečně malou tloušťkou (snad je to tak matematicky správně).

Průnik dvou trubek se mi již s pomocí uživatele Rumburak podařilo vypočítat. Když si nakreslím body v ose Y a Z, tak mám "horní pohled" na průnik. Tj. tak to bude vidět hořák, tak bude zakreslený plán. Jenže ještě se musí provést korekce osy X. Napadlo mě přičíst hodnotu X k hodnotě Y. Tím se průnik "natáhne" v ose Y. Vzinkne tak 2D plán, který když se vypálí, tak malá trubka "musí" projít otvorem velké trubky. Je to tak správně?

A pak je zde ještě zaříznutí malé trubky podle společného průniku. To se musí provést "rozvin" avšak nejprve se musí průnik natočit tak aby byl v ose X. Tj. když budu dělat průnik dvou trubek svírající úhel 45°, tak abych malou trubku zařízl podle průniku, musím jej natočit zpět o -45° a udělat rozvin.

Původně jsem něchtěl psát o technologiích, ale snad to tak bude snadněji pochopitelné.

Momentálně mě nejvíce zatěžuje průnik trubky a roviny. Vzoreček uživatele Rumburaka je správný, ale asi jinak natočený. Vzniká toto:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/09295_nakres_21.png

V levé části obrázku je řez trubkou pod úhlem 45°. Takový řez by ale měl vypadat jako v pravé části obrázku. Jak bych měl upravit vzoreček?

Momentálně mám: $z = ( tan(\alpha) * R * cos(t) ) + ( R * sin(t) )$

Děkuji.

Rumburak

↑ unknow005:

Takový řez by ale měl vypadat jako v pravé části obrázku.

Pokud je tou lepší variantou míněn poněkud středově asymetrický tvar křivky vpravo, pak jde o omyl.
Průsečnice roviny s rotační válcovou plochou, jejíž osa není rovnoběžná s tou rovinou, je elipsa
(ve speciálním případě kružnice), což je známý fakt.

Druká věc je, ve kterém směru se na situaci díváme (resp. jak je vůči nám ta situace orientována).
Nicméně elipsa by se měla při každém směru pohledu jevit jako elipsa (případné zkreslení vlivem
perpektivy je, myslím, zanedbatelné - pokud vůbec existuje, což jsem ale nezkoumal).

unknow005

↑ Rumburak:

ano, máte pravdu! měla by to být elipsa, né vajíčko jako na obrázku. Měl jsem na stole plastovou trubičku a pod úhlem 45° jsem ji přefikl - a výsledek byla elipsa (tj. stejné šišky na obou stranách).

K pohledu z prostoru. V průniku trubky s trubkou to bylo skvělé! Když bych se podíval ze stoje kolmo na zem, tak tlustá trubka by byla položená mezi mýma nohama a směřovala dál po zemi ve směru mých chodidel. A druhá trubka vedla z mojí tváře na osu tlusté trubky.

Jenže řez trubky s rovinou je nějak "zvláštní". Když bych jej přirovnal pohledu viz. výše, tak trubka ležící na zemi ve směru mých špiček s řezem pod 45° by měl vypadat jako pravý nákres na obrázku (ale elipsa). Ten levý je nějak divně pootočený.

Přidal jsem obrázek jak jsou osy - tak pohled by měl být z osy X:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/15747_trubka_pohled.png

Děkuji.

Rumburak · 27. 02. 2014 17:11

↑ unknow005:

Když tu rouru šikmo řízneme rovinou a díváme se na výsledek "z boku", tj. v směru kolmém k ose roury,
tak to, co uvidíme, bude záviset na tom, jak bude roura pootočena okolo své osy. Například někdy uvidíme
celou elipsu řezu, někdy jen její část (zbytek bude v zákrytu), někdy budeme řez vnímat jako úsečku,
detailních variant je nekonečně mnoho v závislosti na úhlu otočení vzhledem k nějaké konkretní poloze,
kterou můžeme nazývat základní polohou. To je triviální.

Ale nepochopil jsem, jaký problém z toho plyne.

unknow005

↑ Rumburak:

Ano! To je ono - když se díváme ve směru kolmé k ose roury, tj. vektor našeho pohledu je osa X (viz. poslední obrázek) - to je u mě pohled "z plánu".

Příklad: R1 = 100, R2 = 100, úhel = 45°:

Výsledek s použitím Vašeho vzorečku pro průnik dvou trubek:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/24339_rez_1.png

Výsledek s použitím Vašeho vzorečku pro průnik trubky s rovinou:

Problém: proč není řez trubky s rovinou toto???

(jde jen o nepřesné nákresy)

Děkuji.

Rumburak

↑ unknow005:

Máme křivku

$x = R \cos t , y = R \sin t , z = mR \cos t + c, t \in \langle 0 , 2\pi)$ , kde $m \ne 0$ ,

na niž se díváme ve směru osy x "od plus nekonečna k nule". Křivka nám pak splyne s jejím kolmým průmětem
do roviny Pyz, což je (v této rovině) křivka o parametrických rovnicích

$y = R \sin t , z = mR \cos t + c, t \in \langle 0 , 2\pi)$ .

Odtud

$1 = \sin^2 t + \cos^2 t = $\frac{y}{R}$^2+$\frac{z-c}{mR}$^2$ ,

což odpovídá rovnici elipsy s osami ve směru souřadnicových os y, z a tedy i Vašemu třetímu obrázku.

Pokud jste nějak došel k obrázku prostřednímu, v němž hlavní osa elipsy není rovnoběžná se žádnou souřadnicovou osou,
pak k tomu muselo dojít nějakou chybou ve Vašem postupu.

unknow005 · 28. 02. 2014 11:02

↑ Rumburak:

Kompletně jsme se asi navzájem popletli :) :)

O několik příspěvků výš jste psal vzoreček:
$x = R \cos t , y = R \sin t , z = mR \cos t + nR \sin t + c , t \in \langle 0 , 2\pi)$
A nově:
$x = R \cos t , y = R \sin t , z = mR \cos t + c, t \in \langle 0 , 2\pi)$

S druhou rovnicí to již funguje jak má :) ... a dokonce jsem zjistil, že při řezu 45° není průnik elipsa ale kružnice :) ...

Ještě jednou díky!

Rumburak · 28. 02. 2014 11:32

↑ unknow005:

Ta "druhá rovnice" je speciálním případem té první pro n = 0 , tj. když rovina řezu je rovnoběžná s osou y
(aby bylo snadné zakalkulovat tam úhel sklonu té roviny, jak jste si přál).
Případ, kdy m i n jsou nenulová, odpovídá tomu obrázku s "elipsou nakřivo".

... a dokonce jsem zjistil, že při řezu 45° není průnik elipsa ale kružnice :) ...

Pouze její průmět do roviny Pyz je zde kružnice, ale vlastní křivka řezu není kružnicí. Kružnici bychom dostali
jedině řezem kolmým k ose roury.

unknow005

↑ Rumburak:

Tak všechny vzorce fungují jak mají. Průniky a řezy vypadají v pořádku tak snad bude brzo příležitost provést testy na mašině.

Jen mám ještě jeden dotaz:

na obrázku je řez trubkou a nad ní úsečka s body (červené tečky). U každého bodu znám jeho vzdálenost od středu trubky. Jakým vzorečkem se dá zjistit vzdálenost mezi bodem a povrchem trubky? Poloměr trubky znám taky, dále již nic.

(Obrázek je nakreslený špatně - úsečka se dotýká trubky v ose (jakoby je na ní položená)).

Děkuji za pomoc.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/28954_kruh_body.png

Rumburak · 05. 03. 2014 17:29

↑ unknow005:

Vzdálenost bodu $A$ od množiny $M$ je v geometrii pojímána - intuitivně řečeno - jako nekratší cesta od bodu $A$ k té množině.
V našem případě - bereme-li to podle obrázku, kde bodem $A$ je některá z těch červených teček a množinou $M$ ta kružnice -
by taková cesta vedla po přímce spojující bod $A$ se středem $S$ oné kružnice. Úsečka $AS$ má s kružnicí společný právě jeden
bod $B$ a vdálenost $|AB|$ bodů $A, B$ by byla vzdáleností bodu $A$ od kružnice $M$ . Toto číslo je zřejmě rozdílem vzdálenosti
$|AS|$ a poloměru $r$ kružnice.

Ale pokud bychom chtěli za "vzdálenost" bodu $A$ od $M$ považovat délku příslušné červené úsečky se "šipkami", pak by to bylo
o něco složitější: Nechť $C$ je druhý krajní bod červené úsečky (ležící na té kružnici) . Úsečka $CS$ (délky $r$ ) je úhlopříčkou
jistého obdélníka, jehož strany jsou rovnoběžné se souřadnicovýni osami. Nechť jeho strana rovnoběžná s osou x má délku $b$
a strana k ní kolmá má délku $a$ (což je zároveň vzdálenost bodu $A$ od svislé osy té kružnice). Potom podle Pythagorovy věty platí

$a^2 + b^2 = r^2 , a^2 + (|AC| + b)^2 = |AS|^2$ ,

odkud se snadno vyjádří $|AC|$ .

unknow005

↑ Rumburak:

Nějak mi to nevychází, respektive výsledkem je nesmyslná křivka. Níže je nákres jak jsem jej pochopil z popisu.

Známe:
poloměr r ( |CS| )
hodnotu f (vzdálenost od osy trubky) - může být kladná i záporná, v ose trubky má hodnotu 0!

Co chceme zjistit:
hodnotu |AC|

Dle popisu jsem to rozkreslil a po aplikaci (pomohl mi s tím kamarád s VŠ) na Váš vzoreček vyšlo toto:
$|AC| = -f \mp \sqrt{\mathrm{|AS|}^{2} - \mathrm{a}^{2}}$

kdy
$|AS| = \sqrt{\mathrm{r}^{2} + \mathrm{f}^{2}}$
$a=\sqrt{\mathrm{r}^{2} - \mathrm{f}^{2}}$

Je to správně? Proč je hodnota |AC| + i - ? Kterou hodnotu mám pak použít?
Díky!

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/96475_kruznice_nakres.png

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2014 08:23

Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#2 24. 02. 2014 11:49 — Editoval Rumburak (24. 02. 2014 11:50)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#3 24. 02. 2014 13:07 — Editoval unknow005 (24. 02. 2014 16:23)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#4 24. 02. 2014 16:58 — Editoval Rumburak (24. 02. 2014 17:06)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#5 25. 02. 2014 11:59 — Editoval unknow005 (25. 02. 2014 15:29) Příspěvek uživatele unknow005 byl skryt uživatelem unknow005. Důvod: Aktualizace

#6 26. 02. 2014 07:49 — Editoval unknow005 (26. 02. 2014 07:51)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#7 26. 02. 2014 14:06

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#8 26. 02. 2014 16:40 — Editoval unknow005 (26. 02. 2014 17:08)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#9 27. 02. 2014 11:16 — Editoval Rumburak (27. 02. 2014 11:29)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#10 27. 02. 2014 11:51

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#11 27. 02. 2014 12:12 — Editoval Rumburak (27. 02. 2014 12:17)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#12 27. 02. 2014 12:56 — Editoval unknow005 (27. 02. 2014 13:00)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#13 27. 02. 2014 14:04 — Editoval Honzc (27. 02. 2014 14:20)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#14 27. 02. 2014 14:57

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#15 27. 02. 2014 15:48 — Editoval Rumburak (27. 02. 2014 16:18)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#16 27. 02. 2014 16:31 — Editoval unknow005 (27. 02. 2014 16:52)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#17 27. 02. 2014 17:11

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#18 27. 02. 2014 19:09 — Editoval unknow005 (27. 02. 2014 20:11)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#19 28. 02. 2014 08:06 — Editoval unknow005 (28. 02. 2014 08:08) Příspěvek uživatele unknow005 byl skryt uživatelem unknow005. Důvod: Chyba byla v kódu!

#20 28. 02. 2014 10:00 — Editoval Rumburak (28. 02. 2014 10:01)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#21 28. 02. 2014 11:02

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#22 28. 02. 2014 11:32

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#23 05. 03. 2014 15:26 — Editoval unknow005 (05. 03. 2014 15:27)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#24 05. 03. 2014 17:29

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

#25 06. 03. 2014 10:13 — Editoval unknow005 (06. 03. 2014 10:14)

Re: Průnik 1) dvou válců a 2) válce s rovinou

Zápatí