Matematické Fórum

mrjoser

Ahoj

Chtěl bych poprosit o pomoc s řešením příkladu:
Najděte funkce f a g , které mají stejnou derivaci na svém definičním oboru, a které zároveň splňují :f(1)=3; f(3)=5; g(1)=15; g(3)= 20

Tuším, že je potřeba využít integrace a poté nějak pracovat s konstantou C. Prosím alespoň o nastínění postupu.

Děkuji

Rumburak · 28. 02. 2014 10:32

Ahoj.

Nejprve si polož otázku: Mohla by takováto situace nastat, pokud by částí definičního oboru funkcí f, g
byl nějaký otevřený interval obsahující body 1, 3 ?

Freedy · 28. 02. 2014 14:00

Derivace je míra rychlosti růstu dané funkce. Pokud by u první funkce by ta funkce mezi 1 a 3 vzrostla o 2 a u druhé mezi 1 a 3 o 5 tak už by se nemohlo jednat o dvě funkce se stejnou derivací.

mrjoser · 28. 02. 2014 14:51

No takto zní zadání, takže takové funkce asi existovat musí... Nemusí se jednat jen o lineární..

Freedy · 28. 02. 2014 15:23

Ale ono je úplně jedno o jakou funkci se jedná. Musela by to být funkce s nějakým předpisem typu
pro x = (a;b) f(x) = něco
pro x = (c;d) f(x) = něco jiného
a podobně. Protože na daném intervalu funkce vzrostla nějak, a derivace je míra růstu. A první funkce vzrostla o 2 zatímco druhá o 5 při stejné změně. Takže takové dvě funkce existovat nemůžou

Eratosthenes

↑ Freedy: ↑ mrjoser:

Ale pánové - to je přece úplně jednoduché. Vezměte si třeba funkce

$f(1)=3; f(3)=5; g(1)=15; g(3)= 20; f(x)=g(x)=sin(x) \Leftrightarrow x\not = 1;3$

(anebo jakoukoli jinou diferencovatelnou). Pro každé $x\not =1;3$ je $f'(x)=g'(x)= \cos x$ a pro x=1;3 derivace neexistují. A je to vyřízeno.

Anebo třeba

$f(x)=\frac 3 {2-x} \Leftrightarrow x<2; \frac 5 {x-2} \Leftrightarrow x>2$

$g(x)=f(x)+12 \Leftrightarrow x<2; f(x)+15 \Leftrightarrow x>2$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/09537_OBR.png

Takových možností je hromada...

mrjoser · 28. 02. 2014 21:19

↑ Eratosthenes:

Děkuji moc za vyřešení. Už sem začínal propadat zoufalství :)
Nicméně bych se chtěl ještě dotázat na váš zápis funkcí. Funkci píšete ve dvou tvarech pro 2 různé intervaly. Já sem se v životě s takovým zápisem nesetkal, proto se chci zeptat, jestli je to regulérní zápis, nebo co to vlastně je?...

Díky

Eratosthenes · 28. 02. 2014 21:54

↑ mrjoser:

Funkce, které jsou definovány na několika intervalech různými rovnicemi, jsou v matematice dost běžné. Obvykle se zapisují takto:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/20722_FCE.png

K tomuto zápisu je v LaTeXu potřeba matice s jednou závorkou, která udělat sice jde, ale já jsem dávno zapomněl jak (a momentálně se mi po tom nechce pátrat :-)

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2014 22:10 — Editoval mrjoser (27. 02. 2014 22:49)

hledání funkce

#2 28. 02. 2014 10:32

Re: hledání funkce

#3 28. 02. 2014 14:00

Re: hledání funkce

#4 28. 02. 2014 14:51

Re: hledání funkce

#5 28. 02. 2014 15:23

Re: hledání funkce

#6 28. 02. 2014 17:59 — Editoval Eratosthenes (28. 02. 2014 18:46)

Re: hledání funkce

#7 28. 02. 2014 21:19

Re: hledání funkce

#8 28. 02. 2014 21:54

Re: hledání funkce

Zápatí