Matematické Fórum

coolcake · 02. 03. 2014 20:23

Ahojte,

poprosil by som o pomoc s dôkazom vlastností pre:

$u_{0}=2$
$u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2}+\frac{1}{u_{n}}$

Musím dokázať rekurentným vzťahom, že $\sqrt{2}\le u_{n}\le 2$ pre $\forall n\in N$

Na francúzskej matematike to to riešime tak, že dokážeme, že to platí pre $u_{0}$

potom sa cez úpravy sústavy nerovníc snažíme dostať k tomuto: (Tým, že ten stredný výraz upravíme tak, aby sme ho mohli zameniť pomocou $u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2}+\frac{1}{u_{n}}$ .

$\sqrt{2}\le u_{n+1}\le 2$

Len fakt mi to nejde poupravovať do tvaru, kde by som mohol využiť tú rekurentnú rovnosť. :(

Ďakujem.

vanok · 02. 03. 2014 20:58

Ahoj,
Co je to francuzka matematika?

coolcake · 02. 03. 2014 21:02

↑ vanok: To je matematika vo francouzštine :D, samozrejme, že matematika je stále to isté v každom jazyku, ale formálne zápisy sú trochu iné... aj trochu iné metódy dokazovania a podobne...

gadgetka · 02. 03. 2014 21:20

Nějak takhle? ;)
$\sqrt{2}\le\frac{u_{n}}{2}+\frac{1}{u_{n}}\le 2$
$\sqrt{2}\le\frac{u_{n}^2+2}{2u_n}\le 2$

$\sqrt{2}\le\frac{u_{n}^2+2}{2u_n}\enspace \wedge \enspace \frac{u_{n}^2+2}{2u_n}\le 2$
$0\le\frac{u_{n}^2+2}{2u_n}-\sqrt{2}\enspace \wedge \enspace \frac{u_{n}^2+2}{2u_n}-2\le 0$
$0\le\frac{u_{n}^2+2-2u_n\sqrt 2}{2u_n}\enspace \wedge \enspace \frac{u_{n}^2+2-4u_n}{2u_n}\le 0$

$\frac{(u_{n}-\sqrt 2)^2}{2u_n}\ge 0\enspace \wedge \enspace \frac{(u_n-2-\sqrt 2)(u_n-2+\sqrt 2)}{2u_n}\le 0$

vanok · 02. 03. 2014 21:28 — Editoval vanok (02. 03. 2014 21:34)

Ok.
Et où tu dois faire les math en français?
Vous avez un cours comme ça?
Quel est le texte complet de ton exercice?

coolcake

↑ vanok: Oui, il faut aussi argumenter en francais, je ne sais pas comment raisonner par reccurence que cette propriete est héreditaire pour $\forall n \in N$ :D

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/92538_gasg.jpg

coolcake · 02. 03. 2014 21:34

↑ gadgetka: Oh ďakujem, no to by sme sa dostali asi k tomu, že pre aké hodnoty $u_{n}$ to platí, ale ja musím cez tú rekurenciu dokázať, že tá vlastnosť je dedičná, čiže ju mám aj $u_{n+1}$ člen :(

vanok · 02. 03. 2014 21:45 — Editoval vanok (02. 03. 2014 21:50)

Pour ton étude tu peux aussi utiliser la fonction f: x--> 1/2(x+ 2/x) definie sur $R^{*+}$ à valeurs dans $[ \sqrt 2, + \infty]$ .
Tu étudie où ?

Édit: teraz vidim ze to bola vlastne tvoja prva otazka.

Tu peux donner ici le tableau de variations de f.

coolcake · 02. 03. 2014 21:50

↑ vanok: Oui je sais, je suis maintenant sur 3eme etape... mais je pense que j´ai trouvé la reponse... parce que si $u_{0_{}} \in [\sqrt{2};2]$ alors les valeurs des termes de cette suite recurente ne depasse pas jamais les valeurs de cette intervale. D´aprés ce que j´ai calculé dans 2.

vanok · 02. 03. 2014 21:59 — Editoval vanok (02. 03. 2014 22:15)

Il suffit voir que $f(u_n)=u_{n+1}$
Puis grâce à la question 2, (obtenue de 1, via de variations)
prouver q3 est presque automatique.
Il est alors unutile de reprendre la démo. comme tu l,as voulu le faire, mais par contre il est indispensable utiliser les questions précédantes.

Remarque: ton exercice est fait de sorte, que tu doit montrer qu'il s'agit d'une suite monotone bornée et donc convergeante....

coolcake · 02. 03. 2014 22:03

↑ vanok: Ah oui, merci bcp. J´espere que je suis capable de le finir maintenant :)

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2014 20:23

Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#2 02. 03. 2014 20:58

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#3 02. 03. 2014 21:02

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#4 02. 03. 2014 21:20

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#5 02. 03. 2014 21:28 — Editoval vanok (02. 03. 2014 21:34)

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#6 02. 03. 2014 21:32 — Editoval coolcake (02. 03. 2014 21:35)

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#7 02. 03. 2014 21:34

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#8 02. 03. 2014 21:45 — Editoval vanok (02. 03. 2014 21:50)

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#9 02. 03. 2014 21:50

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#10 02. 03. 2014 21:59 — Editoval vanok (02. 03. 2014 22:15)

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

#11 02. 03. 2014 22:03

Re: Rekurentné dokazovanie vlastností postupnosti

Zápatí