Matematické Fórum

perwin · 02. 03. 2014 20:26 — Editoval perwin (02. 03. 2014 21:23)

Dobrý den,

nepotřebuji tak přímo poradit, jako spíš "zkontrolovat" můj výpočet.

Máme kružnici, jejíž střed leží na souřadnicích [x, y] a leží na ní 3 body [a, b], [c, d] a [e, f].
Znám pouze hodnoty a, b, c, d, e a f. Hodnoty x a y neznám, musím si je tedy vyjádřit (stačí mi y).

Postupoval jsem takto:
$r^{2} = (a-x)^{2} + (b-y)^{2} = a^{2} + b^{2} + x^{2} + y^{2} -2ax -2by$
$r^{2} = (c-x)^{2} + (d-y)^{2} = c^{2} + d^{2} + x^{2} + y^{2} -2cx -2dy$
$r^{2} = (e-x)^{2} + (f-y)^{2} = e^{2} + f^{2} + x^{2} + y^{2} -2ex -2fy$

Dosazení těchto 3 rovnic postupně do sebe:
$a^{2} + b^{2} - 2ax -2by = c^{2} + d^{2} - 2cx - 2dy$
$c^{2} + d^{2} - 2cx -2dy = e^{2} + f^{2} - 2ex - 2fy$
$e^{2} + f^{2} - 2ex -2fy = a^{2} + b^{2} - 2ax - 2by$

Vyjádření hodnoty x pomocí 1. rovnice a 3. rovnice:
$x = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} - 2by + 2dy}{2a - 2c}$
$x = \frac{e^{2} + f^{2} - a^{2} - b^{2} - 2fy + 2by}{2e - 2a}$

Spojení těchto 2 rovnic:
$(a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} - 2by + 2dy)\cdot (2e - 2a) = (e^{2} + f^{2} - a^{2} - b^{2} - 2fy + 2by)\cdot (2a - 2c)$

Roznásobení a úprava:
$2y\cdot (-e\cdot (b-d) - a\cdot (d-f) - c\cdot (f-b)) = -e\cdot (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}) -a\cdot (c^{2} + d^{2} - e^{2} - f^{2}) -c\cdot (e^{2} + f^{2} - a^{2} - b^{2})$

Vyjádření y:
$y = \frac{e\cdot (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}) + a\cdot (c^{2} + d^{2} - e^{2} - f^{2}) + c\cdot (e^{2} + f^{2} - a^{2} - b^{2})}{2\cdot (e\cdot (b-d) + a\cdot (d-f) + c\cdot (f-b))}$

Zde bych se chtěl zeptat, zda-li jsem postupoval správně, či ne.
Děkuji.

marnes · 02. 03. 2014 20:39

↑ perwin:

já bych dosadil do rovnice

$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ souřadnice tří známých bodů a získal bych soustavu tří rovnic o třech neznámých a,b,c

perwin · 02. 03. 2014 21:37

↑ marnes:

Já tedy nevím, jak toto souvisí s mojí otázkou. A už vůbec nevím, jak bych tento vzorec aplikoval na této úloze.

marnes · 02. 03. 2014 21:45

↑ perwin:
Odpověď je taková, že mi tvůj postup přijde zbytečně komplikovaný.

A jak už jsem psal. Po dosazení čísel za x a y do OR kružnice získáš soustavu 3 rovnic o 3 neznámých.

Pokud ti jde o nějaký obecný algoritmus pro výpočet souřadnic středu, tak je to možný, kontrolovat to nebudu (aspoň já tedy ne)

jelena · 02. 03. 2014 22:14

Zdravím v tématu,

samotný postup výpočtu vychází ze správné myšlenky ↑ perwin:, pokud není nějaká chyba v úpravě.

O něco jednodušší (snad) je hledaní středu kružnice tak, že sestavíme rovnice přímek - os stran a najdeme jejích průsečík (z vlastností kružnice opsané). Může se hodit na překontrolování (nebo WA). Jednou jsme rozebrali více různých postupů hledání středů kružnice dle zadaných bodů.

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2014 20:26 — Editoval perwin (02. 03. 2014 21:23)

Výpočet pro kružnici procházející třemi body

#2 02. 03. 2014 20:39

Re: Výpočet pro kružnici procházející třemi body

#3 02. 03. 2014 21:37

Re: Výpočet pro kružnici procházející třemi body

#4 02. 03. 2014 21:45

Re: Výpočet pro kružnici procházející třemi body

#5 02. 03. 2014 22:14

Re: Výpočet pro kružnici procházející třemi body

Zápatí