Matematické Fórum

aww · 02. 03. 2014 19:21

Dobrý den, může mi někdo prosím poradit jak začít řešit tuto limitu?
$\lim_{(x,y)\to(a,a)}\frac{1}{|x-y|}$

nejspíš by to nemělo být obtížné, jen mě nic nenapadá.

Andrejka3 · 02. 03. 2014 19:52

↑ aww:
Označme $A=(a,a)$ , $Z=(x,y)$ . Uvažujme $\delta$ okolí $A$ v dvojkové (euklidovské metrice).
Odhadneš shora $|x-y|$ pomocí $\delta$ ?
Návod:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

aww · 02. 03. 2014 20:26

Omlouvám se, moc jsem to nepobral.
Pochopil jsem, že trojúhelníkovou nerovnost jsme použili protože se ze dvou rozdílných bodů blížíme k jednomu bodu?

Proč může být $a$ kladné i záporné, když je v absolutní hodnotě |x-y|? Zkusím o tom ještě porozmýšlet.

Andrejka3

↑ aww:
Docela jednoduché je toto: k $(a,a)$ se můžeme blížit mimo jiné po přímce $x=y$ . Co z toho plyne pro hodnotu výrazu
$\frac{1}{|x-y|}$ ? A tedy pro existenci limity?

edit: v prvním návodu mám na mysli přičtení nuly: $|x-y|=|x-a+a-y|=\ldots$ .

aww · 02. 03. 2014 20:35

plyne z toho, že ve spodu budeme mít vždy nulu a limita neexistuje?

Andrejka3 · 02. 03. 2014 20:39

↑ aww:
Ano. V každém okolí toho bodu (a,a) existují body, ve kterých není fce definována. Takže nemá limitu.
Existuje taky pojem limita v bodě vzhledem k množině, kdy ten bod bývá hromadným bodem té množiny. Zde bychom mohli počítat limitu vzhledem k množině bodů různých od přímky $x=y$ . Pak použitím návodu z prvního příspěvku bys zjistil, že taková už existuje.

aww · 02. 03. 2014 20:52

dobře, chtěl bych pochopit tvůj návod nahoře

už vím jak jsi se dostala k |x-a|, když to vezmu selským rozumem, čím více se nám bude blížit X k A tím menší číslo bude pod čarou, tím pádem by limita měla být nekonečno

Andrejka3

↑ aww:
Přesně tak. Vezměme libovolné $\delta>0$ . Redukované okolí (a,a) minus ta přímka $x=y$ je kruh o poloměru $\delta$ se středem v (a,a), ale bez středu, bez přímky x=y. Tak v tomto okolí je $|x-a|\leq 2\delta$ , tedy $\frac{1}{|x-y|}\geq \frac{1}{2\delta}$ , jak ukážeme. No a $\lim_{\delta\to 0^+}\frac{1}{2\delta}=0$ .

Odhad: $|x-y|=|x-a+a-y|\leq |x-a|+|y-a|$ . Nyní, vzdálenost bodu $(x,y)$ od $(a,a)$ je
$\rho(Z,A)=\rho((x,y),(a,a))=\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}\geq |x-a|$ . Podobně, $|y-a|\leq \rho(Z,A)\leq \delta$ .