Matematické Fórum

Somachr · 26. 02. 2014 16:36

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/28802_2014-02-26_162826.png

Ahoj,
potřeboval bych pomoct napsat rovnice popisující model seismického kyvadla. Potřebuji matematicko-fyzikální model, tak abych mohl hlídat úhel a úhlovou rychlost kyvadla.

Děkuji

Brzls · 27. 02. 2014 19:15

Ahoj

Buď na to půjdeš přes Lagrangeovy rovnice II druhu, nebo přes zachování energie, záleží která z těchto rovnic ti přijde jednodušší na modelování (jsem si téměř jistý, že analyticky to řešit nepůjde).

Tak či tak budeš muset určit energii soustavy v závislosti na úhlu a jeho časové derivaci.

Kinetická - prostá kinetická energie toho závaží (předpokládám, že zanedbáváme hmotnost pružin a tyčky)

Potenciální - potenciální energie závaží, plus potenciální energie obou pružin
Všechno v závislosti na úhlu který svírá tyčka s rovinou (můžeš zvolit i jinou zobecněnou souřadnici, ale tohle mi přijde nejjednodužší)

Ted záleží na tobě, v čem přesně nemáš jasno, pak uvidíme co dál.

Somachr · 27. 02. 2014 20:03

↑ Brzls:

Popravdě nevím jak začít, tohle není můj obor. Potřebuji to dostat do matlabu a pracovat s tím dál. Vím, že musím spočítat síly působící na hmotný bod. U pružin je to jasné ty jsou k(x - x0) a gravitační síla je také jasná, ale nevím jak zakomponovat to, že je hmotný bod na tyčce a v nějaké výšce. Také nevím co dělat s pružinami, konkrétně s tím, že jsou zachyceny až pod hmotným bodem.

Sice jsem už někdy "zakopl" o L rovnice, ale nikdy jsem se to neučil. Nemohl bych dostat konkrétní postup s vysvětlením?

Díky

Brzls · 01. 03. 2014 13:16

No píšeš trošku zmateně...
Pokud se rozhodneš situaci modelovat podle sil, tak budiž, ale je to zbytečně komplikované (jakože fakt komplikované)

Zkus to přes ty energie - Jak se počítá potenciální energie pružin???
Jak se počítá potenciální energie toho tělesa na tyčce???
Jak rychle se pohybuje???

Tohle všechno vyjádři pomocí úhlu a jeho derivace. Jelikož se energie zachovává, tak dostaneš diferenciální rovnici, jejímž řešením je právě závislost toho úhlu na čase.

Zkus napsat aspoň něco k čemu ses dostal s těmi energiemi a pak uvidíme.

Somachr · 03. 03. 2014 11:51

↑ Brzls:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/43756_DSC_0175.jpg

To jsou energie pružin a kyvadla alespoň doufám. Rychlost neznám, to budu také zjišťovat. Tohle mi ale vůbec nedává smysl, nepotřebuji znát i kinetickou energii?

Brzls · 03. 03. 2014 17:34

Ahoj

Ano tu taky ale to už je celkem brnkačka.
Máš tam ale několik chyb

1. Pokud si nulovou potenciální energii zvolil při úhlu nula (což je rozumné), tak musíš ještě před ten vzorec co si napsal připsat mínus, neboť ta kulička se nyní nachází níž - má menší energii než na začátku

2. Ty uvažuješ, že ty pružiny jsou po celou dobu rovnoběžné s "podlahou", ale to nejsou, koukni se na ten první obrázek. To je potřeba doladit. A připrav se na to, že to bude vypadat hnusně...

Jinak ta kinetická to není nic jiného než
$T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}ml^{2}(\frac{d}{dt}\varphi )^{2}$

Přdpokládám že víš kam to spěje - sečteš všechny energie (potenciální kuličky, potenciální energie první pružiny, potenciální energie druhé pružiny, pohybová energie) a napíšeš že to je rovno E (to počáteční podmínka), tím dostaneš diferenciální rovnici, kterou sice člověk neumí vyřešit, nicméně program by si s tim měl poradit.

Somachr · 03. 03. 2014 19:22

↑ Brzls:

Počkat, jde o ideální případ. Pružiny budou rovnoběžné pořád. Ta výchylka je jenom nákres, počáteční výchylku budu udávat já ve stupních. Jde o to to namodelovat, tak aby to fungovalo v každé počáteční podmínce tak jak má. Ve zkratce, co je červeně je z mojí hlavy a při kontrole může každý tyto údaje měnit a model tomu musí odpovídat.

Brzls · 03. 03. 2014 20:19 — Editoval Brzls (03. 03. 2014 20:20)

Pak jsi tedy na dobré cestě, stačí když opravíš to znaménko a ještě vyjádříš to x pomocí toho úhlu, jelikož jsou ty pružiny dvě tak k tomu připočteš energii i té druhé, přičteš pohybovou a dostaneš tím celkovou enegii

Jde o to jak ten tvůj model bude fungovat - já to chápu tak, že zadáš diferenciální rovnici, k ní připíšeš potřebný počet počátečních podmínek, a ono ti to vymodeluje danou situaci je to tak?

Jinak nedošlo mi, že si stím program jen tak neporadí, takže ten postup bude trošku jiný -
Ten vzorec pro tu celkovou energii ke kterému se dostaneš zderivuješ podle času, a položíš rovno nule je jasné proč???
Tím získáš diferenciální rovnici druhého řádu, její řešení však bude jednodušší

Somachr · 03. 03. 2014 20:42

Jo asi jsme na stejné stránce, dám vědět co jsem vyplodil, Děkuju

Freed00m

Zdravím všechny, jsem tu nový a řeším stejný problém mám, ale nevím jak zderivovat jeden výraz.

Úhel značím $\theta$
$T = \frac{1}{2} m v^2\\ T = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2$

$V_{pend} = - m g \cdot l \cdot (1 - \cos \theta )$
$V_{spring1} = \dfrac{1}{2} k_1 ( l_p \sin \theta )^2$
$L \triangleq T - V$
a

Což je paradní, ale později se dostanu k té časové derivaci

$L=mgl \left( 1- \cos \,\theta \right) -\frac{1}{2}\,k_{{1}}{l_ {{p}}}^{2}{\sin}^{2}{\theta}-\frac{1}{2}\,k_{{2}}{l_{{p}}}^{2}{\sin}^{2}{ \theta}+\frac{1}{2}\,m{l}^{2} \dot\theta^{2}$
$\dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) &- \left( \dfrac{\partial L}{\partial \theta} \right) = 0$

Jednoduše nevím jak:
"tečková notace je časová derivace"
$\dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \theta} (\frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2) \right) = ?$

Prosím o pomoc :))

jelena · 28. 05. 2014 15:50

↑ Freed00m:

Zdravím,

pokud ještě aktuální - dle pravidel nový dotaz patří do nového samostatného tématu viz pravidla. Pokud navazuješ na některé jiné téma, stačí přidat odkaz (zde mám dojem ani moc nenavazuješ). V novém tématu upřesní, prosím: potřebuješ derivovat po dt funkci:

$L=mgl \left( 1- \cos \,\theta \right) -\frac{1}{2}\,k_{{1}}{l_ {{p}}}^{2}{\sin}^{2}{\theta}-\frac{1}{2}\,k_{{2}}{l_{{p}}}^{2}{\sin}^{2}{ \theta}+\frac{1}{2}\,m{l}^{2} \dot\theta^{2}$

Zatím jsem se nějak nezorientovala v této části (a asi v celém dotazu)

Jednoduše nevím jak:
"tečková notace je časová derivace"
$\dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \theta} (\frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2) \right) = ?$

Děkuji.

Brzls · 28. 05. 2014 19:32 — Editoval Brzls (29. 05. 2014 17:30)

↑ jelena:

Zdravím

Freed00m dle mého názoru správně určil Lagrangián, a napsal správně Lagrangeovu rovnici II druhu.
Dále se také ztrácím

↑ Freed00m:

Chápu že akorát nevíš jak to zderivovat? Je to proto že si se s Lagrangeovými rovnicemi ještě nesetkal, nebo ti dělá problém přímo tento konkrétní příklad? Pokud je to ta první varianta, tak vyzkoušej ten postup co jsem tu podle mě již zmiňoval.
Napiš zachování energie a celé to zderivuj podle času.

Jinak nevím v čem je problém

$\frac{\partial }{\partial \dot{\theta} }(\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2})=\frac{1}{2}ml^{2}\frac{\partial }{\partial \dot{\theta}}(\dot{\theta}^{2})=\frac{1}{2}ml^{2}\cdot (2\dot{\theta})=ml^{2}\dot{\theta}$

Nevím co znamená že nevíš jak to zderivovat, proto sem to napsal takto podrobně

jelena · 28. 05. 2014 21:59

↑ Brzls:

Zdravím, ono je často obtížné odsledovat nové vložení do již rozpracovaného tématu (kolega zřejmě nějaký důvod vidí). Nebylo mi jasné, zda:

ale později se dostanu k té časové derivaci

znamená, že už se dostal a má problém s derivováním, nebo se zápisem podle:

Jednoduše nevím jak:
"tečková notace je časová derivace"

nebo s "pře- $L$ -kovaným zápisem"

$\dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \theta} (\frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2) \right) = ?$

Uvidíme, až se ozve, nebo už je možná vyřešeno.

Freed00m · 29. 05. 2014 01:56

Zdravím podruhé, omlouvám se ale s Lagrangeovými rovnicemi dělám prvně.

Tady je můj odvozený lagrangian:
$L=\frac{1}{2}\,m{l}^{2} \dot\theta^{2} + mgl \left( 1- \cos \,\theta \right) - \frac{1}{2}\,k_{{1}}{l_ {{p}}}^{2}{\sin}^{2}{\theta} - \frac{1}{2}\,k_{{2}}{l_{{p}}}^{2}{\sin}^{2}{ \theta}$

Dosadíme do $\dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \left( \dfrac{\partial L}{\partial q_i} \right) = Q_i \qquad 1 \leq i \leq n$

Teď nastáne můj problém:
$\dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) &= \dfrac{d}{d t} \left( m l^2 \dot{\theta} \right) = m l^2 \ddot{\theta} \\ \left( \dfrac{\partial L}{\partial \theta} \right) &= (-l g sin \theta) + m g l \sin \theta + \frac{1}{2} k_1 l_p^2 \sin \theta \cos\theta + \frac{1}{2} k_2 l_p^2 \sin \theta \cos\theta$

Brzls napsal(a):
↑ jelena:

Jinak nevím v čem je problém

$\frac{\partial }{\partial \theta }(\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2})=\frac{1}{2}ml^{2}\frac{\partial }{\partial \dot{\theta}}(\dot{\theta}^{2})=\frac{1}{2}ml^{2}\cdot (2\dot{\theta})=ml^{2}\dot{\theta}$

Já vidím problém v

$\frac{\partial }{\partial \theta } \neq \frac{\partial }{\partial \dot{\theta} }$

$\frac{1}{2}ml^{2}\frac{\partial }{\partial \theta}\left( \frac{d }{d t} \theta \right)^{2} = ?$

Zkoušel jsem na to jít přez ZZE a to tak že říká, že změna potenciální a kinetická energie je stejná:

$\dfrac{1}{2} m v^2 &= m g \Delta h \\ v &= \sqrt{2 g \Delta h}$
S použitím vzorce pro obloukovou délku $v = l \frac{d \theta}{d t}$
$\dfrac{d \theta}{d t} &= \dfrac{1}{l} \sqrt{2 g \Delta h}$

Jestliže se kyvadlo začne hýbat z nějakého počátečního úhlu $\theta_0$ , potom $h_0$ , počáteční svislá vzdálenost od závěsu, je dána předpisem:
$h_0 &= l \cos \theta_0 \\ h_1 &= l \cos \theta$
Potom $\Delta h$ je rozdíl výšek:
$\Delta h = l (cos \theta - cos \theta_0)$

Dosazením do
$\dfrac{d \theta }{d t} = \sqrt{\dfrac{2 g}{l} (\cos \theta - \cos \theta_0)}$

Takže zpátky k mému problému.

$\dfrac{d }{d \theta} \left( \frac{1}{2}\,m{l}^{2} \left( \sqrt{\dfrac{2 g}{l} (\cos \theta - \cos \theta_0)} \right)^{2} \right) = - l g \sin \theta$

Je to co jsem provedl vůbec platné?? Výsledky tomuhle přístupu neodpovídají.

Děkuji za pomoc :)

Brzls · 29. 05. 2014 17:39

↑ Freed00m:

Ne tak takhle to nefunguje. Změna potenciální energie je sice rovna změně pohybové, ale ty si zapomněl na to, že i ty pružiny mají svojí potenciální energii.
POkud se chceš vyhnout lagrangeovým rovnicím, tak napiš zachování energie ve tvaru

$T+V=E_{0}$

kde E(o) je počáteční energie, T pohybová a V potenciální (to si měl v původní příspěvku dobře)

A obě tyto strany zderivuj podle času. (derivace z E(o) je pochopitelně nula)

Říkáš
$\frac{\partial }{\partial \theta } \neq \frac{\partial }{\partial \dot{\theta} }$
A to je problém??

V tom příspěvku co cituješ mi tam hned nazačátku vypadla tečka nad tou thetou už sem to opravil.

Dále píšeš
$\dfrac{d}{d t} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) &= \dfrac{d}{d t} \left( m l^2 \dot{\theta} \right) = m l^2 \ddot{\theta} \\ \left( \dfrac{\partial L}{\partial \theta} \right) &= (-l g sin \theta) + m g l \sin \theta + \frac{1}{2} k_1 l_p^2 \sin \theta \cos\theta + \frac{1}{2} k_2 l_p^2 \sin \theta \cos\theta$

Což je skoro správně, akorát si při derivování výrazů s tuhostmi k1 a k2 zapomněl na násobení dvojkou (ty poloviny tam nemají být), protože $\frac{\partial }{\partial \theta}sin^{2}(\theta)=2sin(\theta)*cos(\theta)$

Takže se opět ptám, v čem že spočívá tvůj problém???

Freed00m

Brzls napsal(a):
↑ Freed00m:
Říkáš
$\frac{\partial }{\partial \theta } \neq \frac{\partial }{\partial \dot{\theta} }$
A to je problém??

V tom příspěvku co cituješ mi tam hned nazačátku vypadla tečka nad tou thetou už sem to opravil.

Já to chtěl derivovat bez té tečky, jak je to definované v tom Lagrangeovským postupu.

$\frac{\partial }{\partial \theta} L= \frac{\partial }{\partial \theta} \left[ \frac{1}{2}\,m{l}^{2} \dot\theta^{2} + mgl \left( 1- \cos \,\theta \right) - \frac{1}{2}\,k_{{1}}{l_ {{p}}}^{2}{\sin}^{2}{\theta} - \frac{1}{2}\,k_{{2}}{l_{{p}}}^{2}{\sin}^{2}{ \theta} \right]$

Moc by mě zajímalo co mám v takové situaci dělat.

Brzls napsal(a):
↑ Freed00m:
POkud se chceš vyhnout lagrangeovým rovnicím, tak napiš zachování energie ve tvaru
$T+V=E_{0}$
kde E(o) je počáteční energie, T pohybová a V potenciální (to si měl v původní příspěvku dobře)

Tak já to ještě zkusím tímhle způsobem, ale tím Lagrangem to musí přece také musí jít. :)

Brzls · 29. 05. 2014 19:32

↑ Freed00m:

A víš co je parciální derivace? A normálně derivovat umíš? Prostě to zderivuješ podle thety a u ostatních písmen (i u thety s tečkou!!) se tváříš že to sou prostě konstanty

Freed00m · 29. 05. 2014 19:43

↑ Brzls:

Tak se omlouvám, to jsem chtěl vědět :) že tu thetu s tečkou mám brát jako konstantu.

Brzls · 29. 05. 2014 20:47

↑ Freed00m:

Jasný, já jen nechápal kde přesně je problém, jsem rád že si konečně rozumíme.
Když máš v zápise např.
$\frac{\partial }{\partial \dot{q}}$
tak všechno ostatní bereš jako konstanty, tedy i q bez tečky, q s dvěma tečkami, prostě všechno kromě q s tečkou atd.
Je všechno ostatní jasné?

Freed00m · 29. 05. 2014 21:23

Je mi to jasné :) děkuji

Matematické Fórum

#1 26. 02. 2014 16:36

Model seismického kyvadla

#2 27. 02. 2014 19:15

Re: Model seismického kyvadla

#3 27. 02. 2014 20:03

Re: Model seismického kyvadla

#4 01. 03. 2014 13:16

Re: Model seismického kyvadla

#5 03. 03. 2014 11:51

Re: Model seismického kyvadla

#6 03. 03. 2014 17:34

Re: Model seismického kyvadla

#7 03. 03. 2014 19:22

Re: Model seismického kyvadla

#8 03. 03. 2014 20:19 — Editoval Brzls (03. 03. 2014 20:20)

Re: Model seismického kyvadla

#9 03. 03. 2014 20:42

Re: Model seismického kyvadla

#10 27. 05. 2014 22:10 — Editoval Freed00m (28. 05. 2014 15:28)

Re: Model seismického kyvadla

#11 28. 05. 2014 15:50

Re: Model seismického kyvadla

#12 28. 05. 2014 19:32 — Editoval Brzls (29. 05. 2014 17:30)

Re: Model seismického kyvadla

#13 28. 05. 2014 21:59

Re: Model seismického kyvadla

#14 29. 05. 2014 01:56

Re: Model seismického kyvadla

Brzls napsal(a):

#15 29. 05. 2014 17:39

Re: Model seismického kyvadla

#16 29. 05. 2014 19:15 — Editoval Freed00m (29. 05. 2014 19:16)

Re: Model seismického kyvadla

Brzls napsal(a):

Brzls napsal(a):

#17 29. 05. 2014 19:32

Re: Model seismického kyvadla

#18 29. 05. 2014 19:43

Re: Model seismického kyvadla

#19 29. 05. 2014 20:47

Re: Model seismického kyvadla

#20 29. 05. 2014 21:23

Re: Model seismického kyvadla

Zápatí