Matematické Fórum

Akcope · 03. 03. 2014 20:22

Dobrý den, nerozumím následující věci:

Mějme 2 kvadratické formy (už jsem je doplnil na čtverce):

1) $q(x,y,z)=3(x+y-2z)^{2}+(y-z)^{2}$
2) $q(x,y)=(x+y)^{2}+3x^{2}$

Podle výsledků ve skriptech je 1) Pozitivně semidefinitní, a 2) Pozitivně definitní.

Nerozumím proč 2) není také pozitivně SEMIdefinitní (tento výraz se přeci také může rovnat nule). Prosil bych tedy o vysvětlení, děkuji.

vanok · 03. 03. 2014 20:50 — Editoval vanok (03. 03. 2014 21:22)

Ako ste definovali tie pojmy?
Ale iste poznas characterizaciu vdaka vlastnym hodnotam tvojich foriem (striktne kladne, kladne alebo nulove).
Staci?

Akcope · 03. 03. 2014 21:52

vanok napsal(a):
Ako ste definovali tie pojmy?
Ale iste poznas characterizaciu vdaka vlastnym hodnotam tvojich foriem (striktne kladne, kladne alebo nulove).
Staci?

Díky za odpověď, trochu jsem zabrouzdal na internetu a našel všechny věty s vlastními čísly. Je to užitečné, a asi to přes ně budu i nadále počítat. Nicméně zadání těchto příkladů je bylo vyřešit přes doplnění na čtverec, ne vlastní čísla.

Pozitivní definitnost jsme definovali jako když je kvadratická forma $q(\vec{x})>0, \vec{x} \ne \vec{o}$ .
Semidefintnost jako $q(\vec{x})\ge 0$ .

Teď jsem si všimnul, že v definici PD vlastně není nulový vektor. Takže tedy už chápu, že 2) se nemůže rovnat nule. Když vyřeším soustavu rovnic danou závorkami v 1) a položím nule, tak zjistím, že forma je nulová, pokud dosadím třeba (1,1,1). Tedy už rozumím, díky za odpověď, nicméně na problematiku hledání definitnosti pomocí doplňování na čtverec mám ještě dotazy. Asi tedy založím nové téma.

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2014 20:22

Semidefinitnost kvadratických forem

#2 03. 03. 2014 20:50 — Editoval vanok (03. 03. 2014 21:22)

Re: Semidefinitnost kvadratických forem

#3 03. 03. 2014 21:52

Re: Semidefinitnost kvadratických forem

vanok napsal(a):

Zápatí