Matematické Fórum

Marek639 · 04. 03. 2014 17:27

Ahoj, narazil jsem na jeden příklad kterej fakt nedáváma jelikož maturuju z matiky tak bych sním pořeboval pomoct.

V C řešte rovnici :

$x^{5}-1-i\sqrt{3}=0$

gadgetka

Ahoj, přepiš si rovnici do následujícího tvaru $x^5=1+i\sqrt 3$ a zavzpomínej na goniometrický tvar komplexního čísla, binomickou a Moivreovu větu.

Marek639 · 04. 03. 2014 19:50

no na to jsem asi chybel :D vubec nevim jak dál

janca361 · 04. 03. 2014 19:57

Já bych to řešila jako binomickou rovnici
$x^{5}-(1+i\sqrt{3})=0$

Pokud nevíš, jak řešit prostuduj nějaké materiály (učebnice, web)

gadgetka

$x^5=1+i\sqrt 3$

Nejdříve si výraz $1+i\sqrt 3$ převedeš na goniometrický tvar:
$|z|=|1+\sqrt 3|=\sqrt{1^2+$\sqrt 3$^2}=2$
$\cos{\varphi }=\frac{z_1}{|z|}=\frac{1}{2}$
$\sin{\varphi }=\frac{z_2}{|z|}=\frac{\sqrt 3}{2}$
$\Rightarrow \varphi =\frac{\pi}{3}$

$x^5=2$\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}$$
$x_k=\sqrt[5]{2}$\cos{\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{5}}+i\sin{\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{5}}$$

A teď si postupně rozepíšeš jednotlivé kořeny pro $k\in\{0, 1, 2, 3, 4\}$