Matematické Fórum

crank139 · 05. 03. 2014 02:13

Zdravím, na prvý pohľad sa mi to zdalo jednoduché ale vkuse nech robím čo robím mi tam vychádzajú hrozné čísla, ako by som mal postupovať pri tomto? vo výsledkoch je α = 29°50'; β = 134°43'; γ = 15°27'; S = 37,31 cm2.dik

Trojúhelník ABC má délky stran a = 14 cm, b = 20 cm, c = 7,5 cm. Zjisti velikosti úhlů a obsah tohoto trojúhelníku.

gadgetka

Můžeš použít kosinovu větu:
$a^2=b^2+c^2 -2bc\cos{\alpha}$
$196=400+56,25-2\cdot 20\cdot 7,5\cdot \cos{\alpha}$
$\cos{\alpha}=\frac{260,25}{300}$
$\cos{\alpha}=0,8675$
$\alpha \doteq 29,83^{\circ}\doteq 29^{\circ}49^{\prime}48^{\prime \prime}$

Další úhel dopočítej stejně a zbylý už jen dopočítáš do 180°.

Honzc · 05. 03. 2014 06:10 — Editoval Honzc (05. 03. 2014 07:06)

↑ crank139:
Ukážu ti ještě jiný výpočet:
Pro obsah trojúhelníku platí Heronův vzorec
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ kde $s=\frac{a+b+c}{2}$ (to je poloviční obvod)
a dále
$\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{S}{s(s-a)}$
obdobně
$\text{tg}\frac{\beta }{2}=\frac{S}{s(s-b)}$ a také $\text{tg}\frac{\gamma }{2}=\frac{S}{s(s-c)}$
Výpočet je potom velice jednoduchý a když si připravíš hodnoty $s,s-a,s-b,s-c,S$ tak to máš na kalkulačce s uloženou hodnotou $\frac{S}{s}$ coby dup.
Poznámka:
1.Platí také, že $r=\frac{S}{s}$ kde $r$ je poloměr kružnice vepsané trojúhelníku, takže můžeš navíc ještě vypočítat i ten. (ale to už je ta uložená hodnota z výpočtu úhlů)
2. Dále platí $R=\frac{abc}{4S}$ kde $R$ je poloměr kružnice opsané trojúhelníku.

jelena · 05. 03. 2014 08:27

↑ Honzc:

Zdravím,

Heron v takovém zadání určitě, ale vztah pro poloviční úhel už by se měl odvozovat - tak? Jelikož už máme obsah, potom bych spíš použila vztahy pro obsah $S=\frac{ab\sin \gamma}{2}$ (obdobně další cz, odkud potom úhly). Může být? Děkuji.

↑ crank139:

moderátorská - v některém z příspěvků jsi psal, že se připravuješ na VŠ - tak? Potom úlohy spíš patří do sekce SŠ, kde je použití goniometrických funkcí běžně (nebo si třeba přípravu na VŠ dej do podpisu), děkuji.

crank139 · 05. 03. 2014 13:19

Podľa tej kosínovej vety to pekne vyšlo..
a ten Herónov vzorec akosi vôbec nepoznám, musím sa naňho pozrieť
↑ jelena:
hodil som totu lebo som si myslel že sa to bude riešiť bez goniometrických funkcií .
vďaka všetkým zúčastneným :D

jelena · 05. 03. 2014 13:46

↑ crank139:

děkuji za upřesnění - samozřejmě můžeš dávat dotaz i do ZŠ, lepší však s komentářem, že se chceš pokusit o řešení dle ZŠ a pokud nepůjde, tak jak jinak by to šlo.

Podle ZŠ můžeš nakreslit v trojúhelníku výšku na stranu c (například), potom máš 2 pravoúhlé trojúhelníky, přičemž strana c pátou výšky se rozdělila na část x a část (c-x). A můžeš použit 2 Pythagor. věty - na každý z těchto trojúhelníků. Vzniklá soustava půjde upravit na tvar, který na ZŠ jde vyřešit.

Jelikož na ZŠ se probírají goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku, tak půjde najít i hodnoty úhlů.

Cheop · 05. 03. 2014 14:35

↑ jelena:
Zdravím, a co takto?
$S=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}$

$\sin\,\alpha=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2bc}\\\sin\,\beta=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2ac}\\\sin\,\gamma=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2ab}$

crank139 · 05. 03. 2014 15:43

↑ Cheop:
ako si sa dostal k týmto rovniciam?

crank139 · 05. 03. 2014 15:45

jááj to je ten Heron :)

jelena · 05. 03. 2014 22:42

↑ Cheop:

Také pozdrav :-)

No kdyby zasněžilo, tak by to bylo ještě hezčí, ale kolegovi ↑ crank139: se to libí, tak to bude určitě hezké (kontrolovat odvození nemusím, že ano?). Děkuji.

Honzc · 06. 03. 2014 07:35

↑ jelena:
Zdravím,
i když je téma u vyřešené, přesto:
Můj výpočet byl udělán tak proto, aby bylo co nejméně počítání.
Odvození vzorců je poměrně jednoduché.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 06. 03. 2014 10:57

↑ Honzc:

Také pozdrav :-)

To bude tak - Ty budeš pořád vyvíjet a já budu pořád standardizovat.

Tedy standardizuji:
první úhel - kosinová věta,
druhý úhel - sinová věta, výsledek rovnou použiji do výpočtu obsahu,
dopočet do 180 - třetí úhel.

Nebo:
Heron - obsah,
z obsahu - 2 úhly ↑ příspěvek 4:,
dopočet do 180 - třetí úhel.

A nezapomeň, že rozsah zpracovaných dokumentů musí být přiměřen stavu znalosti uživatelů (tedy dle dalších příspěvků autora tématu předpokládám, že bude používat běžné tabulky).

Ovšem odvození samozřejmě hezké (pokud bych dostala pokynem, tak bych nejspíš ještě odvodila). A celé to naše snažení završí bratr-ekonom, který:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Bratra také zdravím.

petrik_ch · 08. 03. 2014 22:58

Dany trojuholnik vypocitany aj vizualizovany - nakresleny:

http://www.hackmath.net/cz/kalkulacka/v … p;submit=1

Ja som najskor pouzit Heronov vzorec - ziskam obsah S. Potom S=a v_a /2 -> vypocitam jednotlive vysky a zo stran a vysok dopocitam jednoducho uhly - priblizne ako Honzc, akurat este jednoduhsie. lebo sin alfa = v_a/b atd

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2014 02:13

Obsah trojuholníka

#2 05. 03. 2014 02:34 — Editoval gadgetka (05. 03. 2014 02:35)

Re: Obsah trojuholníka

#3 05. 03. 2014 06:10 — Editoval Honzc (05. 03. 2014 07:06)

Re: Obsah trojuholníka

#4 05. 03. 2014 08:27

Re: Obsah trojuholníka

#5 05. 03. 2014 13:19

Re: Obsah trojuholníka

#6 05. 03. 2014 13:46

Re: Obsah trojuholníka

#7 05. 03. 2014 14:35

Re: Obsah trojuholníka

#8 05. 03. 2014 15:43

Re: Obsah trojuholníka

#9 05. 03. 2014 15:45

Re: Obsah trojuholníka

#10 05. 03. 2014 22:42

Re: Obsah trojuholníka

#11 06. 03. 2014 07:35

Re: Obsah trojuholníka

#12 06. 03. 2014 10:57

Re: Obsah trojuholníka

#13 08. 03. 2014 22:58

Re: Obsah trojuholníka

Zápatí