Matematické Fórum

rudib · 06. 03. 2014 05:57

Dobrý deň,

mám riešiť takúto úlohu:

Daná je kuželosečka -x2 + 2xy – 2y2 – 6x + 12y = 0.

zistite o aku kuzelosecku ide?
napiste suradnice stredu.
urcite priesecniky s osou x a y.

To zadanie mi nesedi na ziadnu rovnicu kuzeloseciek, Ako by som mal postupovat? Ďakujem rudi

vanok · 06. 03. 2014 08:36

Ahoj ↑ rudib:,
Jeden mozny postup, navod:
Na toto cvicenie mozes pouzit klasifikaciu kuzeloseciek.
Tu mas diskriminant danej krivky: (-1)(-2)-1^2=1>0, tak ide o elipsu.
Jej centrum urcis vdaka translacii, v ktorej zmyznu linearne cleny rovnice krivky.
Ake skripta pouzivas? Daj ich in line.
Lebo su aj ine metody...

rudib · 06. 03. 2014 08:56

Tento priklad je od kamarata. Studuje externe a nema k tomu nic. Na prednaske dostali iba klasicke definicie kuzeloseciek a ich rovnice. Ak by sa dalo mohol by si mi poslat nejaky odkaz kde je nejaka teoria k tom diskriminantu a tym transformáciam?
Dakujem

vanok · 06. 03. 2014 09:04 — Editoval vanok (06. 03. 2014 09:09)

Zial nic po Sk ani Cz nemam, tak ti radim nieco najst po anglicky alebo francuzky na Google.
Napis co sa ti podarilo najst.

Honzc · 06. 03. 2014 09:35

↑ rudib:
Podívej se Sem a spusť si soubor kuzelosecky.doc

rudib · 06. 03. 2014 10:00

Nasiel som nieco podobne

http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~siran/kuzel.pdf

Ako zistim podla determinantu o aku kuzelosecku ide?

Rumburak

↑ rudib:
Ahoj.

Další možnost - nevyžadující znalost obecné věty o klasifikaci kuželoseček - poněkud ovšem početně zdlouhavá:

Ze SŠ analytické geometrie je známo, jak klasifikovat kuželosečku, v jejíž obecné rovnici tvaru $f(x, y) = 0$
(kde $f$ je polynom ve dvou proměnných druhého stupně) se nevyskytuje člen $kxy$ . Na tento případ se dají převést
pomocí vhodného otočení i ostatní případy .

Je-li $\alpha$ daná velikost úhlu, pak obecný bod $[x, y]$ naší kuželosečky můžeme chápat jako výsledek otočení
jistého bodu bod $[x' , y']$ okolo počátku soustavy souřadnic o úhel $\alpha$ . V jazyce komplexních čísel to znamená
naplnění rovnice

$x + y \mathrm{i} = (x' + y' \mathrm{i})(\cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha )$ .

Odtud můžeme provést v původní rovnici kuželosečky substituci do nových souřadnic $x' , y'$ . Úhel $\alpha$ při tom
volíme tak, aby nová rovnice $g(x', y') = 0$ už nepohodlný člen tvaru $kx'y'$ neobsahovala.

rudib · 06. 03. 2014 10:22

Dakujem vsetkym skusim nastudovat a odovzdat dalej . rudi

vanok · 06. 03. 2014 10:45 — Editoval vanok (06. 03. 2014 10:48)

↑ rudib:,
Ako vidim, kolegovia ti dali dokumenty po Sk.
Pridavam este jednu cestu na klasifikaciu kuzeloseciek: a to vdaka Sylvester-ovej vete (niekedy znama aj ako, Sylvester-ovy zakon o inercii)
Pridavam jedno poucne YouTube ( pozor trochu ine znacenia) http://www.youtube.com/watch?v=7tsIminZGRw

rudib · 06. 03. 2014 19:16

Ako ešte zistím súradnice stredu?

vanok · 06. 03. 2014 20:12

↑ rudib:
Ako som ti naznacil, v ↑ vanok:, tak musis urobit tu translaciu, aby si sa zbavil linearnych clenov.
Preto poloz
$x=X+ \alpha \\y= Y+\beta$
Dosad to do daneho vyrazu krivky a napis ze obdrzane linearne vyrazy su nulove.
Riesenie toho linearne ho systemu da bod co hladas $\Omega (\alpha ,\beta )$ .
Staci?
Rotaciu, aby si sa zbavil xy, v tomto cviceni nemusis robit, lebo to sa ta nikto nepyta.

Honzc · 07. 03. 2014 10:12 — Editoval Honzc (07. 03. 2014 10:16)

↑ rudib:
Máš-li kuželosečku o rovnici:
$a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
pak její střed je řešením soustavy
$a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0\\ a_{12}x+a_{22}y+a_{23}=0$
Jinak pro úhel osy kuželosečky (měřeného od kladné poloosy x proti směru h.r) platí:
$\text{tg}2\varphi =\frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$
Je-li $a_{11}=a_{22}$ , pak je možné volit $\varphi =\frac{\pi }{4}$ (to ale není náš případ)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 07. 03. 2014 15:21

Pozor.
Poznamka tykajuca sa mnou pouzitych oznaceni.
Hladany bod som musel oznacit $\Omega (\alpha ,\beta )$ a to preto aby nebola zraska oznaceni zo suradnicamy ktore si pouzil v tvojom prvom prispevku ↑ rudib:.
Translacia, ktoru som uviedol v ↑ vanok:, prevedie povodne ( x,y) suradnice elipsy zo stredom suradnicoveho systemu O(0,0) a stredom elipsy v $\Omega$ v povodnym suradnicovom systeme k suradniciam (X,Y) a stredom v $\Omega$ (ktoreho suradnice v tomto novom systeme su $\Omega(0,0)$ )
Poznamka: vdaka pojmu reper (co nepredpokladam, ze si to uz studoval), predosly vyklad by sa dal trochu zjednodusit.

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2014 05:57

Kuželosečka

#2 06. 03. 2014 08:36

Re: Kuželosečka

#3 06. 03. 2014 08:56

Re: Kuželosečka

#4 06. 03. 2014 09:04 — Editoval vanok (06. 03. 2014 09:09)

Re: Kuželosečka

#5 06. 03. 2014 09:35

Re: Kuželosečka

#6 06. 03. 2014 10:00

Re: Kuželosečka

#7 06. 03. 2014 10:10 — Editoval Rumburak (06. 03. 2014 10:11)

Re: Kuželosečka

#8 06. 03. 2014 10:22

Re: Kuželosečka

#9 06. 03. 2014 10:45 — Editoval vanok (06. 03. 2014 10:48)

Re: Kuželosečka

#10 06. 03. 2014 19:16

Re: Kuželosečka

#11 06. 03. 2014 20:12

Re: Kuželosečka

#12 07. 03. 2014 10:12 — Editoval Honzc (07. 03. 2014 10:16)

Re: Kuželosečka

#13 07. 03. 2014 15:21

Re: Kuželosečka

Zápatí