Matematické Fórum

Akcope · 07. 03. 2014 11:04

Zdravím, byl jsem uveden do problematiky extremů funkcí více proměnných a postup chápu. Problém ale mám s někdy velice nepříjemnými soustavami rovnic, které na začátku příkladu vzniknou. Tedy nemůžu najít stacionární body. Uvedu tu několik příkladů, s kterými si zrovna lámu hlavu. Upřímně řečeno vůbec nevím jak na ně.

1) $f(x,y) = xy\ln (x^{2}+y^{2})$
Toto vede na soustavu rovnic:
$y(ln(x^{2}+y^{2})+\frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}})=0$
$x(ln(x^{2}+y^{2})+\frac{2y^{2}}{x^{2}+y^{2}})=0$

2) $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy-4\ln x-10\ln y; x,y>0$
Zde vyjde:
$2x+y-\frac{4}{x}=0$
$2y+x-\frac{10}{y}=0$
Tahle soustava vypadá na první pohled lehčí, ale pořád se do ní zamotávám. Možná mi něco uniká. Jakékoliv rady by byly vítané.

Jj · 07. 03. 2014 11:25

↑ Akcope:

Dobrý den, řekl bych, že v prvním příkladě x1=0, y1=0, podělit rovnice y, x a odečíst

$\frac{2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} -\frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0\Rightarrow y = \pm x$

a po dosazení do původní rovnice spočítat další kořeny.

Rumburak · 07. 03. 2014 11:34

↑ Akcope:
Ahoj.

Někdy pomůže substituce v proměnných.
Například u první úlohy bych zkusil přejít k polárním souřadnicím $x = r \cos t , y = r \sin t$
(meze nových proměnných si jistě budeš umět určit sám). Funkce $f(x,y) = xy\ln (x^{2}+y^{2})$
pak dostane tvar

$g(r, t) = r^2 \cos t \sin t \ln r^2 = r^2\ln r \sin 2t$ .

Dále

$g_r(r, t) = $2r \ln r + r$ \sin 2t = r (2\ln r + 1)\sin 2t$ ,
$g_t(r, t) = 2r^2 \ln r \cos 2t$ ,

odkud se stacionární body funkce $g$ hledají snadno.

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2014 11:04

Extrémy funkcí více proměnných - velmi nepříjemné soustavy rovnic

#2 07. 03. 2014 11:25

Re: Extrémy funkcí více proměnných - velmi nepříjemné soustavy rovnic

#3 07. 03. 2014 11:34

Re: Extrémy funkcí více proměnných - velmi nepříjemné soustavy rovnic

Zápatí