Matematické Fórum

kryštof · 09. 03. 2014 12:54

Ahoj, jakým postupem se dá vypočítat tohle: $\int_{}^{}\sqrt{1+x^2 }\mathrm{d}x$ ? Dík ;)

Jj · 09. 03. 2014 13:25

↑ kryštof:

Dobrý den, pomůže substituce

x = sinht, dx = cosht dt
1+ sinh^2t = cosh^2t

kryštof · 09. 03. 2014 14:40

Freedy · 09. 03. 2014 15:21 — Editoval Freedy (09. 03. 2014 15:22)

Nebo můžeš zkusit jiný postup:
$x = \text{tan}(t)$
$dx=\frac{1}{\cos ^2(t)}dt$
což přejde v
$\int_{}^{}\sqrt{1+\text{tan}^2(t)}\frac{1}{\cos ^2(t)}dt$
$\int_{}^{}\sqrt{\frac{1}{\cos ^2(t)t}}\cdot\frac{1}{\cos ^2(t)}dt$
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3(t)}dt$
______________________________
teď samostatná integrace
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3(t)}dt$
$u=\frac{1}{\cos (t)}$ --- $u'=\frac{\sin (t)}{\cos ^2(t)}$
$v'=\frac{1}{\cos ^2(t)}$ --- $v = \frac{\sin t}{\cos t}$

Takže teď
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3t}dt=\frac{\sin t}{\cos ^2t}-\int_{}^{}\frac{\sin ^2t}{\cos ^3t}dt$
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3t}dt = \frac{\sin t}{\cos ^2t}-\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3t}dt+\int_{}^{}\frac{1}{\cos t}dt$
To se ale hodí - na obouch stranách je stejný integrál:
$2\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3t}dt = \frac{\sin t}{\cos ^2t}+\int_{}^{}\frac{1}{\cos t}dt$
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3t}dt = \frac{\sin t}{2\cos ^2t}+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{\cos t}dt$
nyní pouze stačí najít integral:
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos t}dt$
což je také trošku pracnější no, použiju jeho hodnotu, kterou už někdo vypočítal:
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos t}dt=\ln |\frac{1+\sin t}{\cos t}|$

Když se vrátíš:
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3t}dt = \frac{\sin t}{2\cos ^2t}+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{\cos t}dt$
poslední integrál je tedy tak jak je:
$\int_{}^{}\frac{1}{\cos ^3t}dt = \frac{\sin t}{2\cos ^2t}+\frac{\ln |\frac{1+\sin t}{\cos t}|}{2}$
a substituce ze začátku kdy:
x = tan(t).
t = arctan(x)
.....
$\int_{}^{}\sqrt{1+x^2}dx = \frac{\sin (\text{arctan}(x))}{2\cos ^2(\text{arctan}(x)}+\frac{\ln |\frac{1+\sin (\text{arctan}(x))}{\cos (\text{arctan}(x))}|}{2}+c$

aspoň doufám že tam nebude někde chyba.

Matematické Fórum

#1 09. 03. 2014 12:54

integrál

#2 09. 03. 2014 13:25

Re: integrál

#3 09. 03. 2014 14:40

Re: integrál

#4 09. 03. 2014 15:21 — Editoval Freedy (09. 03. 2014 15:22)

Re: integrál

Zápatí