Matematické Fórum

Majkee · 05. 03. 2014 21:27

Zdravím,
obracím se na Vás s prosbou o radu, jak postupovat při řešení následujícího příkladu.

U dvojčat je pravděpodobnost toho, že jsou to oba chlapci $h$ , že jsou to obě děvčata $d$ . Dále předpokládejme, že jsou-li dvojčata různého pohlaví, pak je stejná pravděpodobnost toho, že se dříve narodí chlapec, jako toho, že se dříve narodí děvče. Vypočtěte pravděpodobnost toho, že druhé dítě bude chlapec, resp. děvče za té podmínky, že první narozené dítě je chlapec.

Výsledky:
V prvním případě, tj. bude-li druhé dítě chlapec, je pravděpodobnost
$\frac{2h}{1+h-d}$
a v druhém případě, tj. bude-li druhé dítě děvče, je pravděpodobnost
$\frac{1-h-d}{1+h-d}$ .

Prosím o vysvětlení nebo radu, jak k těmto výsledkům dojít.
Za všechny rady a tipy předem moc děkuju.

Jj · 07. 03. 2014 16:45

↑ Majkee:

Dobrý den, možná by to šlo nějak takto:

Jevy K1, K2, D1, D2 - první kluk, druhý kluk atd.
K1D2 - 1. kluk a druhé děvče atp.

Dáno: P(K1K2) = h, P(D1D2) = d

Pak z pravděpodobnosti, že jsou různého pohlaví (= 1 - h - d)
a z dané podmínky, že P(K1D2) = P(D1K2) vyplývá, že P(K1D2) = P(D1K2) = (1 - h - d)/2.

Pro výpočet $P(K_2|K_1) = \frac{P(K_2K_1)}{P(K_1)}$ je třeba určit P(K1):

Protože platí
P(K2|K1) + P(D2|K1) = 1 (druhé musí být buď kluk nebo děvče)
pak s využitím Bayesova vzorce
P(D2K1) = P(D2|K1) P(K1) = (1 - P(K2|K1))P(K1) = P(K1) - P(K2|K1))P(K1) = P(K1) - P(K2K1)
--> P(K1) = P(D2K1) + P(K2K1) = (1 - h - d)/2 + h = (1 + h - d)/2

Takže jen dosadit P(K1) do vzorce

$P(K_2|K_1) =\frac{P(K_1K_2)}{P(K_1)} = \frac{h}{(1 + h - d)/2}=\frac{2h}{1 + h - d}$
a spočítat
$P(D_2|K_1) = 1-P(K_2|K_1)=1-\frac{2h}{1 + h - d}=\frac{1-h-d}{1 + h - d}$

Majkee · 10. 03. 2014 12:08

↑ Jj: Děkuji moc za vyčerpávající vysvětlení. :)

Majkee · 11. 03. 2014 21:33

Ještě bych se prosím chtěl zeptat, proč se zde "Pak z pravděpodobnosti, že jsou různého pohlaví (= 1 - h - d)
a z dané podmínky, že P(K1D2) = P(D1K2) vyplývá, že P(K1D2) = P(D1K2) = (1 - h - d)/2." dělí dvěma? Děkuju :)

Jj · 12. 03. 2014 10:16

↑ Majkee:

Vycházel jsem z toho, že

- dvojčata mohou být buď stejného, nebo různého pohlaví (vylučující se jevy). Pravděpodobnost, že jsou stejného pohlaví = h + d, takže pravděpodobnost, že jsou různého pohlaví bude doplněk do 1, tzn. = 1 - h - d.

- různého pohlaví mohou být ve dvou případech: buď K1D2 nebo D1K2 (vylučující se jevy). Takže pravděpodobnost toho, že jsou různého pohlaví = P(K1D2) + P(D1k2) = (podle odrážky výše) 1 - h - d.
Takže máme uvedenou podmínku a přidáme podmínku ze zadání ("jsou-li dvojčata různého pohlaví, pak je stejná pravděpodobnost toho, že se dříve narodí chlapec, jako toho, že se dříve narodí děvče" ~ P(K1D2) = P(D1K2) ) máme soustavu rovnic:

P(K1D2) + P(D1k2) = 1 - h - d
P(K1D2) - P(D1K2) = 0

--> P(K1D2) = (1 - h - d)/2
P(D1K2) = (1 - h - d)/2

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2014 21:27

Podmíněná pravděpodobnost

#2 07. 03. 2014 16:45

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#3 10. 03. 2014 12:08

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#4 11. 03. 2014 21:33

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#5 12. 03. 2014 10:16

Re: Podmíněná pravděpodobnost

Zápatí