Matematické Fórum

hauli · 10. 03. 2014 11:19

Necht' A ma vlastnost, ze pro každé x, y $\in A$ také x/2 +y/n $\in A$ . Je potom nutně A konvexní? Změní se odpověď, pokud A je uzavřená?

A je množina M= $\{(x,y) : xy>=1, x>=0 \}$ konvexní?

Ahoj, mohla bych se zeptat, jak byste dokazovali tenhle příklad?

Děkuju moc :)

kompik · 10. 03. 2014 12:56

hauli napsal(a):
Necht' A ma vlastnost, ze pro každé x, y $\in A$ také x/2 +y/n $\in A$ . Je potom nutně A konvexní? Změní se odpověď, pokud A je uzavřená?

Čo tu znamená n?

hauli · 10. 03. 2014 13:02

↑ kompik: Aha, pardon, to má být taky dvojka :( Tak nechť n=2 :D

kompik · 10. 03. 2014 13:07

hauli napsal(a):
A je množina M= $\{(x,y) : xy>=1, x>=0 \}$ konvexní?

Ahoj, mohla bych se zeptat, jak byste dokazovali tenhle příklad?

Děkuju moc :)

$M=\{(x,y); y\ge f(x), x\ge0\}$ , kde $f(x)=\frac1x$

Je to teda množina bodov nad grafom funkcie $x\mapsto1/x$ . (V prvom kvadrante.)
Keď si nakreslíš obrázok, tak hneď vidíš, že je konvexná. Bolo by to treba ale aj nejako formálne zdôvodniť.

Ak je nejaká funkcia konvexná, tak množina bodov nad jej grafom (tzv. epigraf) je konvexná množina. (Možno ste sa to učili na prednáške. Ak nie, tak si to treba rozmyslieť.)

Stačí nám teda skontrolovať, či $f(x)=1/x$ je na kladných reálnych číslach konvexná.

Máme teda overiť:
$f(ax+(1-a)y)\ge af(x)+(1-a)f(y)$ pre $a\in(0,1)$ , $x,y\ge 0$ .

Skúsme jednoducho dosadiť a upravovať.
$\frac ax + \frac {1-a}y \ge \frac1{ax+(1-a)y}$ $\Leftrightarrow$
$[ax+(1-a)y]\cdot(ay+(1-a)x)\ge xy$ $\Leftrightarrow$
$(a^2 + (1-a)^2)xy + a(1-a)(x^2+y^2)\ge xy$ $\Leftrightarrow$
$(a^2-a)2xy - (a^2-a)(x^2+y^2)\ge0$ $\Leftrightarrow$
$(a-a^2)(x-y)^2\ge0$ $\Leftrightarrow$
$a(1-a)(x-y)^2\le0$

Ak vieme, že pre spojité funkcie to stačí dokazovať pre $a=1/2$ , tak máme dokazovať o čosi jednoduchšiu nerovnosť: $\frac2{x+y} \le \frac12\left(\frac1x + \frac1y\right)$

Dokáže sa podobne ako predošlá. Môžeme si tiež uvedomiť, že
$\frac2{x+y} \le \frac12\left(\frac1x + \frac1y\right)$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x+y}2 \ge \frac2{\frac1x+\frac1y}$
Posledná nerovnosť je známa nerovnosť medzi aritmetickým a harmonickým priemerom, napríklad tu: https://www.artofproblemsolving.com/Wik … Inequality

kompik · 10. 03. 2014 13:08 — Editoval kompik (10. 03. 2014 13:11)

hauli napsal(a):
↑ kompik: Aha, pardon, to má být taky dvojka :( Tak nechť n=2 :D

Nech $A=\mathbb Q$ , t.j. pozrime sa na racionálne čísla ako podmnožinu reálnej osi. Spĺňa zadanú podmienku? Je konvexná?

kompik · 10. 03. 2014 13:16 — Editoval kompik (10. 03. 2014 13:17)

K otázke o uzavretej množina by sa možno dalo pristupovať takto:

Chceme ukázať, že $x,y\in A$ $\Rightarrow$ $ax+(1-a)y\in A$ pre $a\in(0,1)$ .

a) Vieme, že to platí pre $a=1/2$ .
b) Vedeli by sme to potom dokázať pre všetky čísla tvaru $a=k/2^n$ , ktoré sú v intervale (0,1)? (Napríklad indukciou na n.)
c) Vedeli by sme nejako použiť uzavretosť množiny A na to, aby sme to mali aj pre ostatné čísla?

Nejaké iné riešenie je tu: http://orion.math.uwaterloo.ca/~hwolkow … ass213.pdf
(Bol to prvý výsledok, keď som do Googlu dal "midpoint convex set" closed.)

hauli · 10. 03. 2014 13:18

↑ kompik:

Děkuju moc za oba příklady, je to napsané skvěle srozumitelně :D
Přeju krásný den a ještě jednou děkuju :)

Rumburak · 10. 03. 2014 16:10

↑ hauli:, ↑ kompik:

Změní se odpověď, pokud A je uzavřená?

Muselo by se specifikovat, ve kterém prostoru resp. při které topologii (metrice) je množina A uzavřená.
Například při diskretní metrice je každá podmnožina uzavřená atd.

Snad vhodnější varianta oné otázky by byla

Změní se odpověď, pokud A je uzavřenou podmnožinou úplného prostoru?

kompik · 10. 03. 2014 16:34

Rumburak napsal(a):
Muselo by se specifikovat, ve kterém prostoru resp. při které topologii (metrice) je množina A uzavřená.
Například při diskretní metrice je každá podmnožina uzavřená atd.

Rozumná poznámka, topológia naozaj nebola špecifikovaná.
Pretože v zadaní to nebolo nijako špecifikované, predpokladal som, že ide o $\mathbb R^n$ s obvyklou (euklidovskou) metrikou.
Ale zrejme by to malo bez zmeny prejsť v ľubovoľnom topologickom vektorovom priestore. Jediná vlastnosť, ktorú sme využili, bola tá, že ak $a_n \to a$ , tak aj $a_nx+(1-a_n)y \to ax+(1-a)y$ . Na to stačí spojitosť sčitovania a násobenia skalárom.

Rumburak · 10. 03. 2014 17:03

↑ kompik:

Jasně, moje poznámka patřila spíše autorovi úlohy, aby ji příště zadal přesněji. :-)
S tím topologickým vektorovým prostorem (nad $\mathbb R$ ) máš zřejmě pravdu, pokud by měl konečnou dimensi
(protože pak by byl úplný).
Ale v případě, že by konečnou dimensi neměl, pak bych váhal. Zkusím případně zapřemýšlet .

kompik · 10. 03. 2014 17:49

Rumburak napsal(a):
↑ kompik:

Jasně, moje poznámka patřila spíše autorovi úlohy, aby ji příště zadal přesněji. :-)
S tím topologickým vektorovým prostorem (nad $\mathbb R$ ) máš zřejmě pravdu, pokud by měl konečnou dimensi
(protože pak by byl úplný).
Ale v případě, že by konečnou dimensi neměl, pak bych váhal. Zkusím případně zapřemýšlet .

Priznám sa, že nevidím, prečo by to nemalo prejsť pre ľubovoľný topologický vektorový priestor.
Aby som to podoprel nejakou autoritou, tak je to napríklad ako cvičenie v Schechter: Handbook of Analysis and Its Foundations, p.701, 26.23. (V zadaní je explicitne napísané, že sme v topologickom vektorovom priestore a úloha je dokázať midpoint convex + closed => convex.
(Hľadal som v Google Books "midpoint convex set" closed.

Rumburak · 11. 03. 2014 09:12

↑ kompik:

Díky za informaci. Obecnými lineárními topoplogickými prostory jsem se nikdy nezabýval, pouze vím,
že při nekonečné dimensi bývá leccos jinak než při konečné, tak jsem se klonil k opatrnosti.

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2014 11:19

konvexita

#2 10. 03. 2014 12:56

Re: konvexita

hauli napsal(a):

#3 10. 03. 2014 13:02

Re: konvexita

#4 10. 03. 2014 13:07

Re: konvexita

hauli napsal(a):

#5 10. 03. 2014 13:08 Příspěvek uživatele hauli byl skryt uživatelem hauli. Důvod: odesláno před přečtením reakce.

#6 10. 03. 2014 13:08 — Editoval kompik (10. 03. 2014 13:11)

Re: konvexita

hauli napsal(a):

#7 10. 03. 2014 13:16 — Editoval kompik (10. 03. 2014 13:17)

Re: konvexita

#8 10. 03. 2014 13:18

Re: konvexita

#9 10. 03. 2014 16:10

Re: konvexita

#10 10. 03. 2014 16:34

Re: konvexita

Rumburak napsal(a):

#11 10. 03. 2014 17:03

Re: konvexita

#12 10. 03. 2014 17:49

Re: konvexita

Rumburak napsal(a):

#13 11. 03. 2014 09:12

Re: konvexita

Zápatí