Matematické Fórum

majetan212 · 11. 03. 2014 11:10

Prosim vas, ako by ste vyratali limitu limit (x^2+y^2)/(x^4+y^4) ked (x,y)->( $\infty$ , $\infty$ )? Velka vdaka

Rumburak

Šel bych na to substitucí do polárních souřadnic.

majetan212

↑ Rumburak: Ale ako, ved pociatocne body x0 a y0 musia v tomto pripade byt $\infty$ . Da sa s takym niecim ratat? Inak este len tak pomimo otazka... da sa na limity tohoto typu pouzit L hopitalove pravidlo?

jarrro · 11. 03. 2014 12:19 — Editoval jarrro (11. 03. 2014 13:00)

pomôžu polárne súradnice, lebo potom to prejde na tvar
$\frac{r^2}{r^4-r^2\sin{$2\theta$}}=\frac{1}{r^2$1-\frac{\sin^2{\(2\theta$}}{2}\)}$
kde r ide do nekonečna a theta ku čomukoľvek
výsledok je nula

majetan212

hmm.. skusil som to a vyslo mi to takto nejak:
substitucia: $x=r cos(\alpha )+x0$
$y=r sin(\alpha )+y0$
...pricom teda predpokladam, ze x0 a y0 = 0 $\wedge$ $r \Rightarrow \infty$ .

Potom mi ale vychadza limita z
$\frac{1}{r^{2}(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x)}$
, podla coho by mal byt vysledok zavisly od r a tak by limitan nemala existovat. Lenze ona ma vyjst presne ako hovoris, cize 0.

//Prepac, opravujem sa limita moze byt zavisla od $r$ . Ale aj tak sa nase vysledky mierne lisia. Kde robim chybu?

jarrro · 11. 03. 2014 12:59

$x^2+y^2=r^2\nl x^4+y^4=$x^2+y^2$^2-2x^2y^2=r^4-r^4\frac{\sin^2{$2\theta$}}{2}$
sorry za preklep v prvom opravil som na výsledku to nič nemení

majetan212 · 11. 03. 2014 13:05

Este prosim ta, myslis ze sa to da robit tym sposobom, ako som to spravil ja? Ono je to v podstate jedno, nie?

Rumburak

↑ majetan212:

Prostě polož

$x = r\cos \theta , y = r \sin \theta (r \ge 0 , 0 < \theta < \pi/2 )$ ,

touto substitucí se úloha převede na výpočet limity pro $r \to \infty$ .

V souvislosti s "počátečními body", jak je nazýváš, jde tedy o speciální případ $x_0 = y_0 = 0$ ; bylo by sice možno
volit je nenulové a požadovaná limita by se také dala spočítat, ale vlivem složitějších výrazů by to bylo poněkud méně
elegantní a o něco pracnější.

majetan212

Ok, uz chapem ... diky moc :-)

//ps este jedna mala vec.. co je na tej uprave chybne?

//Aha uz viem, miesto x ma byt $\theta$ , ze..

Rumburak

↑ majetan212:

este jedna mala vec.. co je na tej uprave chybne?

To jsem se utnul já - nechápu proč, asi už blbnu :-( , ta úprava je správně. Omlouvám se.

jarrro · 12. 03. 2014 12:45 — Editoval jarrro (12. 03. 2014 12:45)

v tvojej úprave má byť ako správne píšeš theta miesto x inak je to to isté pretože
$\cos^4{$\theta$}+\sin^4{$\theta$}=1-\frac{\sin^2{$2\theta$}}{2}$

majetan212 · 13. 03. 2014 22:45

Ok.. Dakujem :-)

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2014 11:10

Limita

#2 11. 03. 2014 11:57 — Editoval Rumburak (11. 03. 2014 13:04)

Re: Limita

#3 11. 03. 2014 12:00 — Editoval majetan212 (11. 03. 2014 12:01)

Re: Limita

#4 11. 03. 2014 12:19 — Editoval jarrro (11. 03. 2014 13:00)

Re: Limita

#5 11. 03. 2014 12:43 — Editoval majetan212 (11. 03. 2014 12:46)

Re: Limita

#6 11. 03. 2014 12:59

Re: Limita

#7 11. 03. 2014 13:05

Re: Limita

#8 11. 03. 2014 16:29 — Editoval Rumburak (11. 03. 2014 17:34)

Re: Limita

#9 11. 03. 2014 17:18 — Editoval majetan212 (11. 03. 2014 17:29)

Re: Limita

#10 11. 03. 2014 17:31 — Editoval Rumburak (11. 03. 2014 17:33)

Re: Limita

#11 12. 03. 2014 12:45 — Editoval jarrro (12. 03. 2014 12:45)

Re: Limita

#12 13. 03. 2014 22:45

Re: Limita

Zápatí