Matematické Fórum

Vel3 · 11. 03. 2014 14:20

Zdravím,

mám problém ještě s jednou limitou, pořád nevím jak to mám upravit jinak než, že vytku 5n a tím pádem mám (1) na N-tou a to je 1

Vím, že to nějak souvisí se vzorcem lim(1+1/n) na n =e

Příklad je :
$lim(5n/(5n+1))^n$

n->nekonečnu

výsledek má být podle zadání $\sqrt[5]{e}$

Budu moc rád za pomoc. Děkuji

vanok · 11. 03. 2014 15:14 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:16)

Ahoj ↑ Vel3:,
Navod
Tu mozes polozit m=5n.
Co ti to da?

Pozor:
Dana odpoved nie je presna.

Emca21 · 11. 03. 2014 15:27 — Editoval Emca21 (11. 03. 2014 15:31)

Přesně ten vzorec musíš použít. Ale abys mohl, musíš si to nejdříve upravit.
$\frac{5n}{5n+1}=\frac{5n+1-1}{5n+1}=1-\frac{1}{5n+1}$

následně musíš provést substituci:

$\frac{1}{t}=-\frac{1}{5n+1} \Rightarrow n=\frac{-t+1}{5}$

Takže ti vznikne:
$\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{t})^{-\frac{t}{5}+\frac{1}{5}}= \lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{t})^{-\frac{t}{5}}\cdot \lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{t})^{\frac{1}{5}}$

a výsledek není jak uvádíš, ale je to:

$\frac{1}{\sqrt[5]{e}}$

Bati · 11. 03. 2014 15:35

↑ Emca21:
Ahoj,
substituce v limitě obecně nefunguje a kromě toho v limitách počítáš s proměnnou t, která ovšem záleží na n.

vanok · 11. 03. 2014 15:36 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:38)

Pozdravunem ↑ Emca21:,
To je mile napisat jedno riesenie nasmu kolegovy ( a si ista, ze to je dokonale riesenie)
Takto si ho moze odpisat a nic sa nenaucit.
Ciel fora je iny! Tu sa kolegovia chcu naucit samostatne riesit problemy.

Dakujem za porozumenie.

Emca21 · 11. 03. 2014 15:37

↑ Bati:
Ahoj, takže mé řešení je špatně?

Emca21 · 11. 03. 2014 15:38

↑ vanok:
Dobře! Beru na vědomí.
Omlouvám se!

vanok · 11. 03. 2014 15:41 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:42)

↑ Emca21:,
Ked vies riesit nejake cvicenie, tak skus kolegov nejako nasmerovat a potom napredovat formou dialogu. Niekedy uz aj jedno slovo moze velmi pomoct.

Bati · 11. 03. 2014 15:42

↑ Emca21:
Výsledek je možná správně (nekontroloval jsem) ale zdůvodnění nedostačující, nebo spíše chybné.

Takjo · 11. 03. 2014 16:19

↑ Vel3:
Dobrý den,
zkusím naznačit ještě jeden postup výpočtu:
$\lim_{n\to\infty }(\frac{5n}{5n+1})^{n}=\lim_{n\to\infty }(\frac{5n+1-1}{5n+1})^{n}=\lim_{n\to\infty }(1-\frac{1}{5n+1})^{n}=\lim_{n\to\infty }(1-\frac{1}{5n+1})^{n\cdot \frac{5n+1}{5n+1}}=$

$=\lim_{n\to\infty }[(1-\frac{1}{5n+1})^{(5n+1)}]^{\frac{n}{5n+1}}$ a teď použít vzorce: $\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=e$ nebo $\lim_{n\to\infty }(1-\frac{1}{n})^{n}=e^{-1}$

a větu o limitě složené funkce, čímž dostaneme: $[e^{-1}]^{\lim_{n\to\infty }\frac{n}{5n+1}}$ což už nebude těžké dokončit... :)

vanok · 11. 03. 2014 17:37 — Editoval vanok (12. 03. 2014 00:39)

HhhgVidim ze sa tu vyjadrilo viacej kolegov a tak si niekto moze ( chybne) mysliet,ze moja pomoc bola blbost.
Opakujem, ze to co som naznacil na zaciatku je tiez dobra cesta.
Prva mozna uprava bola napr tato:
$\lim_{n\to+\infty }\frac 1{(\frac{5n+1}{5n})^{n}}=...$

A opakujem este raz, aj to co som vyjadril vyssie, davat kompletne riesenia je nezmysel a je to proti duchu fora ( inac by som tu navrhoval kazdemu aby si kupil moju knihu a adaptoval moje riesenia)

Vel3 · 12. 03. 2014 00:11

Děkuji Vám co jste mi napsali kompletní řešení i ↑ vanok: že mi poradil první krok, ale stejně v tom nějak plavu.

Zkusím zítra zajít za nějakým spolužákem co tomu rozumí a vysvětlí mi to krok po kroku.

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2014 14:20

Limita na n-tou

#2 11. 03. 2014 15:14 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:16)

Re: Limita na n-tou

#3 11. 03. 2014 15:27 — Editoval Emca21 (11. 03. 2014 15:31)

Re: Limita na n-tou

#4 11. 03. 2014 15:30 Příspěvek uživatele Vel3 byl skryt uživatelem Vel3.

#5 11. 03. 2014 15:35

Re: Limita na n-tou

#6 11. 03. 2014 15:36 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:38)

Re: Limita na n-tou

#7 11. 03. 2014 15:37

Re: Limita na n-tou

#8 11. 03. 2014 15:38

Re: Limita na n-tou

#9 11. 03. 2014 15:41 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:42)

Re: Limita na n-tou

#10 11. 03. 2014 15:42

Re: Limita na n-tou

#11 11. 03. 2014 16:19

Re: Limita na n-tou

#12 11. 03. 2014 17:37 — Editoval vanok (12. 03. 2014 00:39)

Re: Limita na n-tou

#13 12. 03. 2014 00:11

Re: Limita na n-tou

Zápatí