Matematické Fórum

multak · 03. 02. 2009 16:29 — Editoval multak (03. 02. 2009 16:31)

Cau, potreboval bych pomoct vyresit tyto priklady:
1) $log x + \frac{1}{log x} = 2$
2) $1 + log x^3 = \frac{10}{log x}$
3) $log(x^2) log\sqrt{x} - log\frac{1}{x} = 2$
4) $logx - (log \sqrt[6]{x})^-1 = 1$

Pomuzete mi s tim nekdo pls. ? Alespon u 2 prikladu postup pls.

musixx · 03. 02. 2009 16:50 — Editoval musixx (03. 02. 2009 16:51)

↑ multak: Vzdy substituce $\log x=t$ .

1) $t+\frac1t=2$ vede na kvadratickou rovnici pro $t$ . Tu vyres a kazde reseni zvlast dosad do substituce --> tim vznikne rovnice $\log x={\rm cislo}$ , ktera je uz jednoducha (treba nacvakat na kalkulacce, kdyz nic vic).

2) Nejprve upravim na $1+3\log x=\frac{10}{\log x}$ a pak stejna substituce da opet kvadratickou rovnici pro $t$ .

3) Nejprve upravim na $2\log x\cdot\frac12\log x-(-1)\log x=2$ , coz po stejne substituci dava opet kvadratickou rovnici pro $t$ .

4) Asi mas na mysli $\log x-(\log\sqrt[6]x)^{-1}=1$ , coz uprav na $\log x-\frac1{\frac16\log x}=1$ , kde zase ta stejna substituce da kvadratickou rovnici pro $t$ .

Nezapomen na podminky resitelnosti, nebo aspon zkousku...

O.o · 03. 02. 2009 16:52 — Editoval O.o (03. 02. 2009 16:56)

↑ multak:

Jestli tě tam pletou ty logaritmy, tak si v těhle případech pro ně můžeš zavést bez problémů substituci, např:

$\log(x) + \frac{1}{\log(x)} = 2 \nl \log(x)=a \nl a+\frac{1}{a}=2 \nl a^2+1=2a \nl a^2-2a+1=0 \nl (a-1)(a-1)=0 \ \Rightarrow \ a=1 \nl$

Vyřešíš substituovanou rovnici, ale to dostaneš čemu je rovno a, ale ty potřebuješ zjistit čemu se rovná x (původní neznámá byla přeci x), tak dosadíš zpět do substituce a vyřešíš jednoduchou rovnici:

$\log(x) = a \ \rightarrow \ a=1 \ \rightarrow \ \log(x)=1 \ \Rightarrow \ x=10$

U dalších příkladů využij také substituci, ale nejprve si uprav rovnice, tak abys neměl u x nějakou mocninu (v argumentu logaritmu), podle známého vzorce:

$\log_ab^c = c \cdot \log_ab$

Pro jistotu ještě:

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

EDIT: Koukám, že jsem byl již předběhnut .)

multak · 03. 02. 2009 17:01

Diky moc, ale jeste jeden dotaz: kdy poznam jestli mam delat substituci ?

O.o · 03. 02. 2009 17:20 — Editoval O.o (03. 02. 2009 17:22)

↑ multak:

Substituci můžeš provést snad kdykoli .).

EDIT: Tedy nebudeš ji provádět, pokud to nemá nějaký smysl, u rovnice $x^2+5x=0$ můžeš také provést substituci $x=b \ \rightarrow \ b^2+5b=0$ , ale nic moc se nezmění, nebo $x^2=d$ , ale to by ti zbytečně komplikovalo situaci..

Olin · 03. 02. 2009 19:25 — Editoval Olin (03. 02. 2009 19:25)

Substituci obvykle využíváme na to, abychom "komplikovanou" úlohu převedli na známou. Krásný příklad jsou tebou uvedené rovnice - z logaritmických jsme udělali kvadratické.

V logaritmických rovnicích využíváme substituci velmi často, pokud se nám zrovna nepodaří dostat rovnici do tvaru
$\log (\text{neco}) = \log (\text{neco jineho})$ .

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2009 16:29 — Editoval multak (03. 02. 2009 16:31)

logaritmy

#2 03. 02. 2009 16:50 — Editoval musixx (03. 02. 2009 16:51)

Re: logaritmy

#3 03. 02. 2009 16:52 — Editoval O.o (03. 02. 2009 16:56)

Re: logaritmy

#4 03. 02. 2009 17:01

Re: logaritmy

#5 03. 02. 2009 17:20 — Editoval O.o (03. 02. 2009 17:22)

Re: logaritmy

#6 03. 02. 2009 19:25 — Editoval Olin (03. 02. 2009 19:25)

Re: logaritmy

Zápatí