Matematické Fórum

stereo-total-music

Nemůžu přijít na správné odvození momentu setrvačnosti rotující koule podle osy procházející středem.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/75784_koule.jpg

Moment setrvačnosti hodně tenkého homogenního válce je:
$dJ=\frac{1}{2}x^{2}dm=\frac{1}{2}x^{2}\varrho dV$

Objemový element je potom:
$dV=\pi x^{2}dx$

Tedy:
$dJ=\frac{1}{2}\varrho\pi x^{4}dx$
$J=2\int_{0}^{r}\frac{1}{2}\varrho\pi x^{4}dx=\varrho \pi \int_{0}^{r}x^{4}dx=\frac{1}{5}\varrho \pi r^{5}$

Pokud vyjádřím objem a následně hmotnost koule, tak mi vyjde jiný vzorec.

Brzls · 15. 03. 2014 14:10 — Editoval Brzls (15. 03. 2014 14:10)

Ahoj

Nevychází ti to, protože mícháš dvě věci dohromady. Abych ti příblížil tu chybu, tak tu osu kolem které se to točí pojmenujeme x. Pak ale tím samim písmenem x nemůžeš značit poloměr toho válce!! To sou naprosto jiné věci.
Když teda budem postupovat tak jako ty - tedy kouli rozdělíme na elementární válce, tak poloměry těchto válců budeme značit např. y. Toto ypsilon je sice funkcí x, ale nikoli y=x tedy nemůžeš to integrovat rovnou tak jak si to dělal.

Jak závisí to y na x?? Platí přece
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
(počátek osy jsme zvolili ve středu koule)

POřádně to rozmysli, dosaď správně to ypsilon tam kam máš, a až teprv potom integruj

stereo-total-music · 15. 03. 2014 23:01

↑ Brzls:
Děkuji, už jsem si to uvědomil. Předtím jsem počítal rotující kužel.

$J=\varrho \pi \int_{0}^{r}x^{4}dx=\varrho \pi \int_{0}^{r}(r^{2}-y^{2})^{2}dy=\varrho \pi\frac{8}{15}r^{5}=\frac{2}{5}mr^{2}$

Brzls · 15. 03. 2014 23:07

↑ stereo-total-music:

Je sice vidět že to chápš, ale POZOR, ten zápis je ŠPATNĚ!!!
Při tvém značení by to mělo být takto
$J=\varrho \pi \int_{0}^{r}x^{4}dy=\varrho \pi \int_{0}^{r}(r^{2}-y^{2})^{2}dy=\varrho \pi\frac{8}{15}r^{5}=\frac{2}{5}mr^{2}$

to dx tam nemá být, z toho důvodu co sem uváděl v předchozím příspěvku

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2014 10:45 — Editoval stereo-total-music (15. 03. 2014 11:15)

Odvození momentu setrvačnosti rotující koule

#2 15. 03. 2014 14:10 — Editoval Brzls (15. 03. 2014 14:10)

Re: Odvození momentu setrvačnosti rotující koule

#3 15. 03. 2014 23:01

Re: Odvození momentu setrvačnosti rotující koule

#4 15. 03. 2014 23:07

Re: Odvození momentu setrvačnosti rotující koule

Zápatí