Matematické Fórum

PanTau · 13. 03. 2014 18:58

Ahoj, mohl by mi prosím někdo poradit jak rozložit na parciální zlomky tento výraz?

$\frac{x^{2}}{x^{6}+1}$

Umím rozložit ten základní s kvadratickým členem dole, jak na tohle? Děkuji za radu.

Emca21 · 13. 03. 2014 19:08

Jelikož jmenovatel nemá reálný kořen, tak jde o druhý typ rozkladu na parc. zlomky.. tudíž obecně:

$\frac{Ax+B}{(x^{2}+px+q)^{m}}$

Hanis · 13. 03. 2014 19:10

Ahoj,

znáš vztah pro rozklad A^3+B^3 na součin?

PanTau · 13. 03. 2014 19:23

↑ Emca21:
A pomocí jakého algoritmu to dostat do zmíněného vztahu?

↑ Hanis:
Tenhle?

(A + B) (A^2 - A B + B^2)

Hanis · 13. 03. 2014 19:41

Přesně ten - s jho pomocí a řešením bikvadratické rovnice rozložíš jmenovatel na součin.

PanTau · 13. 03. 2014 20:03 — Editoval PanTau (13. 03. 2014 20:44)

↑ Hanis:

Nejde to nějakým jednodušším způsobem? Pojem bikvadratická rovnice jsem v životě neslyšel a ve škole neviděl, ani nevím jak se to řeší a pomocí googlu jsem taky nic vhodného nenašel.

Původní znění příkladu je : $\int_{}^{}\frac{x^{2}}{x^{6}+1}$ což vyžaduje rozklad na PZ

Nebo substituce?

Hanis · 14. 03. 2014 11:52

Bikvadratická rovnice je rovnice tvaru ax^4+bx^2+c=0, která se pomocí substituce y=x^2 převede na kvadratickou.

Raubbbyy · 14. 03. 2014 14:23

nic nerozkladaj pouzi substituciu $x^3=t$ a vsetko ti krasne vyjde

jarrro · 14. 03. 2014 15:22

↑ PanTau:pre tento konkrétny integrál je vďaka substitúcii $t=x^3$
$\int{\frac{x^{2}}{x^{6}+1}\mathrm{d}x}=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t}$
čo sa týka rozkladu polynómu $x^6+1$
tak ako píše hanis je
$x^6+1=$x^2+1$$x^4-x^2+1$=$x^2+1$$x^2-\frac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$$x^2-\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$=\nl =$x^2+1$$x+\(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}$\)$x-\(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}$\)$x+\(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}$\)$x-\(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}$\)=\nl =$x^2+1$$\(x+\frac{\sqrt{3}}{2}$^2+\frac{1}{4}\)$\(x-\frac{\sqrt{3}}{2}$^2+\frac{1}{4}\)=$x^2+1$$x^2+\sqrt{3}x+1$$x^2-\sqrt{3}x+1$$
teda
$x^6+1=$x^2+1$$x^2+\sqrt{3}x+1$$x^2-\sqrt{3}x+1$$