Matematické Fórum

Gabrielova

Ahoj , prosím neporadil by mi nekdo ,jak určit definiční obory u těchto složitějších gonm. funkcí ?
a) $y=\log_{}(\sqrt{3}-\text{tg}x)$
Vím , že musím nejprvě určit tyto dvě podmínky:
1) $\sqrt{3}-\text{tg}x\ge 0$
$\text{tg}x\le \sqrt{3}$
2) $-\text{tg}x=\frac{\pi }{2}+k\pi$
$\text{tg}x=-\frac{\pi }{2}-k\pi$
(V LaT. editoru jsem bohužel nenašla znak nerovnosti , prosto jsem místo znaku "NESMÍ SE ROVNAT" použila obyčejné "ROVNÁ SE ")
Dál ted nevím , jak mám podmínky sjednotit dohromady , a jak mám vytvořit konečný interval ,pro který je daná fce platná .
b) $y=\log_{}(\cos ^{2}x+3\cos x+2)$
Opět musím určit podmínku vyplívající z definičního oboru pro logaritmus:
$\cos ^{2}x+3\cos x+2\ge 0$
Ale dál si nevím už vůbec rady .

Freedy · 15. 03. 2014 12:40

Ahoj, u toho prvního řešíš nerovnici, nikoliv rovnici, tudíž tam nějaké nerovná-se nebude moc kalkulovat. Jde o to určit intervaly na kterých je daná funkce definována.

1)
$y=\log_{}(\sqrt{3}-\text{tg}x)$
první podmínka neni úplně správně, protože logaritmus 0 není definován, proto nemůžeš mít větší rovno nule ale pouze jen "větší"
$\text{tg}x< \sqrt{3}$
Tangens je rostoucí funkce na intervalech kde je definována (jsou zde skoky) s periodou k*pi.
Nejdřív tu rovnici vyřešíme na intervalu $x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
$\text{tg}x< \sqrt{3}$
$x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{3})$
a nyní to zobecníme na všechny intervalu pomocí periody kpi:
$K=\bigcup_{k\in \mathbb{Z}}^{}\ \left({-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{3}+k\pi }\right)$

2)
$y=\log_{}(\cos ^2x+3\cos x+2)$
tady stačí řešit kvadratickou rovnici jenom tam máš kosinus. Lze to jednoduše rozložit:
$\cos ^2x+3\cos x+2>0$
$(\cos x+1)(\cos x+2)>0$
A kdy je součin větší než nula? Když jsou oba činitelé větší než nula, nebo oba menší než nula. Oba menší než nula nebudou díky, větší než nula budou vždycky. Je tu ale jedno řešení, kdy daná nerovnice nebude platit a to když se bude
$\cos =-1$
Potom nastane totiž: 0 > 0. Což neplatí. Takže pouze řešení rovnice:
$\cos =-1$ budou vytaženy z Df dané funkce

Gabrielova

↑ Freedy:
Děkuju moc za pomoc , ještě by mě zajímalo jak přijdu na to : $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{3})$
To si nejak namaluješ do jednotkové kružnice ??

Freedy · 15. 03. 2014 14:09

Já beru tento interval, protože na něm je funkce tangens spojitá. Ano, z jednotkové kružnice nebo z grafu to lze vyčíst :)

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2014 11:58 — Editoval Gabrielova (15. 03. 2014 12:13)

Definiční obory goniometrických fcí

#2 15. 03. 2014 12:40

Re: Definiční obory goniometrických fcí

#3 15. 03. 2014 13:27 — Editoval Gabrielova (15. 03. 2014 13:29)

Re: Definiční obory goniometrických fcí

#4 15. 03. 2014 14:09

Re: Definiční obory goniometrických fcí

Zápatí