Matematické Fórum

Emca21 · 16. 03. 2014 17:07

Napadá někoho nějaká vhodná substituce?

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx$

Díky

Bati · 16. 03. 2014 17:14

↑ Emca21:
Ahoj,
zkusil bych $\sqrt{1+x^2}=t+x$ .

Emca21 · 16. 03. 2014 17:24

Opravdu má být pravá strana $t+x$ ???

Bati · 16. 03. 2014 18:21

↑ Emca21:
Ano - uvědom si, co se stane, pokud umocníš obě strany.
Ta rovnost, co jsem napsal samozřejmě sama o sobě nestačí, aby bylo možné provést substituci. Je třeba především vyjádřit x pomocí t, potom jednoduše dostaneme vyjádření $\sqrt{1+x^2}$ pomocí $t$ a také $\mathrm{d}x$ pomocí $t$ a $\mathrm{d}t$ . Všechny tyto vztahy lze odvodit z rovnosti, kterou jsem uvedl a tyto kroky jsou standardní - jde o tzv. Eulerovu substituci.

Pokud by se ti tato klasická substituce nelíbila, je možné zkusit substituci $x=\sinh{t}$ , čímž se také zbavíme odmocniny, nebo i substituce $x=\tan{t}$ nás zbaví odmocniny.

Existuje i způsob bez substituce, ale není asi úplně vidět na první pohled. Nejprve takto upravíme integrand
$\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{1+x^2}-\frac1{\sqrt{1+x^2}}$ .
Integrál druhého z výrazů bychom měli znát zpaměti a na první použijeme per partes, uvědomíme si, co jsme obdrželi a jsme hotovi.