Matematické Fórum

bonifax

Ahoj, rád bych poprosil o kontrolu děkuji :) a ještě bych se rád zeptal na pár věcí:
1. je to v pořádku zatím? proč a jak došlo k rozdělení právě na čtyři intervaly? Kde se vzali 3/4pi, co jsou v tom intervalu? Jaký bude celkový výsledek?

$tg^2x+cotg^2x>2$
$tg^2x+\frac{1}{tg^2x}>2$
$tg^2(x)=a$
$a+\frac{1}{a}>2$
$a^2+1>2a$
$a^2-2a+1>0$
$D=0$
$a_1=a_2=1$

$tg^2(x)=1$
$tg(x)=1$
$x_1=\frac{\pi }{4}+k\pi$
$x_2=x=\frac{5\pi }{4}+k\pi$
Def obor:
Pro tangens platí, že x se nesmí rovnat polovina pí a pro cotgx platí, že se nesmí rovnat k*pí tudíž:
$x\in R\setminus ({\frac{\pi }{2}+k\pi}\cap k\pi)$
$x\in R\setminus {\frac{\pi }{2}k}$

$(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2});(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4});(\frac{3\pi }{4},\pi);(\pi ,\frac{5\pi }{4})$
z 1. intervalu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

z 2. intervalu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

z 3. intervalu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

z 4. intervalu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 16. 03. 2014 20:07

až po to
$x_2=x=\frac{5\pi }{4}+k\pi$
to vypadá v pořádku, dál jsem to nekotroloval...

ale co situace $\tan(x)=-1$ ?

Freedy · 16. 03. 2014 20:13

Už na začátku by jsi měl z řešení vyloučit že:
$x\not = \frac{k\pi }{2}$

Z té nerovnice si dostal že:
$(\text{tg}^2x-1)^2>0$
Takže to platí očividně pro všechna x až na ty pro které se (tg(x))^2 = 1 (a pro pi/2 + kpi samozřejmě.)

čili je třeba vyšetřit, kdy to platit nebude:
$\text{tg}x=1$
$x = \{\frac{\pi }{4}+k\pi \},k\in \mathbb{Z}$
$\text{tg}x=-1$
$x=\{\frac{3\pi }{4}+k\pi \},k\in \mathbb{Z}$

To řešení můžeš sjednotit do jednoho výsledku:
$x=\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi}{2} \},k\in \mathbb{Z}$

Čili ta nerovnost není definována v:
$x\not = \frac{k\pi }{2}$
a nerovnost neplatí v:
$x=\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi}{2} \},k\in \mathbb{Z}$

Sjednocením těchto dvou intervalů dostáváš:
$K=\mathbb{R}-\{\frac{k\pi }{4}\},k\in \mathbb{Z}$

bonifax · 16. 03. 2014 21:52

↑ byk7:

jo díky, na to jsem zapomněl .)

↑ Freedy:

už vím, co jsem chtěl vědět.), jen, ale u tvého postupu, nemůžu přijít na to, jak se sjednocují ty intervaly?)

Freedy · 16. 03. 2014 21:58

Tak například ta podmínka.
Tangens není definován pro pi/2 + kpi. Čili:
pi/2 --- 3pi/2 --- 5pi/2 --- 7pi/2 atd.
Cotangens není definován pro kpi. Čili:
0 --- pi --- 2pi --- 3pi --- 4pi atd.

A ty nyní potřebuješ obě podmínky zároveň. To znamená:
0 --- pi/2 --- pi --- 3pi/2 --- 2pi ... atd.
Čili vidíš že vlastně vždy skočíš o 90 stupňů což je pi/2. U tangense skáčeš o 180 stupnů což je pi. A když teda chceš vyjádřit že ten výraz nemá smysl právě když není definován tangens ani cotangens, tak to sjednotíš do jednoho:
$x\not =\{\frac{k\pi }{2}\},k\in \mathbb{Z}$

bonifax · 16. 03. 2014 22:36

↑ Freedy:

no jo .), jasně mockrát díky, btw. skvěle vysvětleno :)

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2014 15:47 — Editoval bonifax (16. 03. 2014 15:48)

goniometricke nerovnice

#2 16. 03. 2014 20:07

Re: goniometricke nerovnice

#3 16. 03. 2014 20:13

Re: goniometricke nerovnice

#4 16. 03. 2014 21:52

Re: goniometricke nerovnice

#5 16. 03. 2014 21:58

Re: goniometricke nerovnice

#6 16. 03. 2014 22:36

Re: goniometricke nerovnice

Zápatí