Matematické Fórum

mrjoser · 17. 03. 2014 07:49

Zdravím.

Potřeboval bych vytvořit integrál pro výpočet oblouku elipsy, ale vůbec netuším jak na to. Problém mi dělá hlavně to, že elipsu mám zadanou jako: $X(t)=[a\cdot cos t, b\cdot sin t]$

Kdyby ste mi mohli pomoci, bylo by to super. Díky

Jj · 17. 03. 2014 09:17

↑ mrjoser:

Dobrý den,
délka oblouku u křivky zadané parametricky:

$s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}dt$

U elipsy se tento integrál nedá jednoduše vyjádřit pomocí elementárních funkcí (patří mezi tzv. eliptické integrály).

mrjoser

Děkuji, ale jde o to, že mám napsat integrál na výpočet oblouku elipsy a v něm poté provést substituci za $tg (t)$ . Dostal jsem se k :
$\int_{}^{}\sqrt{a^{2}sin^{2}t+b^{2}cos^{2}t}$
Předpokládám tedy, že si v tomto výrazu musím ono tg (t) uměle vytvořit ?

Honzc · 17. 03. 2014 09:53 — Editoval Honzc (17. 03. 2014 09:55)

↑ mrjoser:
Výpočet délky elipsy (i jejího oblouku) vede na eliptický integrál. Tedy jednoduchý vzoreček neexistuje.
Jinak pro tvou elipsu:
$l=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{x^{'2}+y^{'2}}dt=...=b\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1-\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}\sin ^{2}t}dt$ pro $0<a<b$ , což je eliptický integrál II.druhu
a žádná substituce $\text{tg}t$ ti nepomůže.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2014 07:49

délka oblouku elipsy

#2 17. 03. 2014 09:17

Re: délka oblouku elipsy

#3 17. 03. 2014 09:28 — Editoval mrjoser (17. 03. 2014 09:28)

Re: délka oblouku elipsy

#4 17. 03. 2014 09:53 — Editoval Honzc (17. 03. 2014 09:55)

Re: délka oblouku elipsy

Zápatí