Matematické Fórum

Anetka1993 · 17. 03. 2014 19:04

Prosím Vás chcela by som sa spýtať ako pri tomto integrále vypočítam konštanty A,B,C,D..skúšam to už dlho a stále mi to nevychádza. Ďakujem

$\int_{}^{}\frac{x^{3}}{(1-x^{2})^{2}}$

Freedy · 17. 03. 2014 19:48 — Editoval Freedy (17. 03. 2014 19:51)

Ahoj, nebylo by lepší zkusit toto?:
$\int_{}^{}\frac{x^3}{1-2x^2+x^4}\text{dx}$
substituce:
$x^2=t$
$x^4=t^2$
$4x^3\text{dx}=2t\text{dt}$
$\text{dx}=\frac{2t\text{dt}}{4x^3}$

dostáváš:
$\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{2t}{1-2t+t^2}\text{dt}$
upravíš si to na:
$\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{2t-2}{1-2t+t^2}\text{dt}+\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{2}{1-2t+t^2}\text{dt}$
U prvního integrálu je v čitateli derivace jmenovatele takže první integrál:
$\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{2t-2}{1-2t+t^2}\text{dt}=\frac{1}{4}\ln (1-t)^2=\frac{1}{2}\ln |1-t|$
Druhý integrál:
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{1-2t+t^2}\text{dt}$
Stačí pouze zavést substituci:
1-t = a
-dt = da
dt = -da
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(1-t)^2}\text{dt}=-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{a^2}\text{da}=\frac{1}{2a}=\frac{1}{2-2t}$

Když vezmeš oba integrály:
$\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{2t-2}{1-2t+t^2}\text{dt}+\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{2}{1-2t+t^2}\text{dt}=\frac{\ln |1-t|}{2}+\frac{1}{2-2t}$
a zpátky k substituci x^2 = t
$\frac{\ln |1-t|}{2}+\frac{1}{2-2t}=\frac{\ln |1-x^2|}{2}+\frac{1}{2-2x^2}+ C$

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2014 19:04

Integrál-konštanty

#2 17. 03. 2014 19:48 — Editoval Freedy (17. 03. 2014 19:51)

Re: Integrál-konštanty

Zápatí