Matematické Fórum

MrJillHace · 17. 03. 2014 19:56

Jak geometricky najít nejkratší spojnici dvou přímek tvořících úhel (nejsou rovnoběžné) procházející daným bodem? Řekněme že bod je v úhlu.

Už jsem se přesvědčil, že řešením není úsečka tvořena průnikem úhlu se svým obrazem ve středové souměrnosti s bodem, ani kolmice na osu úhlu procházející bodem. Správné řešení mi ale nějak uniká.

Trochu tím narážím na obvyklý středoškolský příklad pro užití derivací:

Z kanálu šířky a vychází pod pravým úhlem kanál šířky b. Najděte největší délku tyče, kterou je možno splavit z jednoho kanálu do druhého.

kde řešením by měla být právě vzdálenost této spojnice kde bod je roh kanálu.

Freedy · 17. 03. 2014 20:16 — Editoval Freedy (17. 03. 2014 20:52)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/83608_uhel.jpg

Zde na tomto obrázku máš ty dvě přímky. Bod F je ten bod, kterým má procházet daná spojnice.
Úhel který svírají dané přímky také znáš.
Ta spojnice dvou přímek bude mít jeden bod F a druhý bod bude ležet na té druhé přímce a společně s body "průsečík přímek" a F tvořit pravoúhlý trojúhelník. Ty znáš vzdálenost bodu od průsečíku přímek. Takže přes goniometrickou funkci kosinus

Rumburak · 18. 03. 2014 09:59

↑ Freedy:

Ahoj.

MrJillHace napsal(a):
... Řekněme že bod je v úhlu.

Domnívám se, že ↑ MrJillHace: měl na mysli netriviální situaci, kfy bod $F$ leží uvnitř úhlu a nikoliv na některé z přímek.

Zkusil bych to řešit pomocí analytické geometrie. Nechť

$P$ je počátek soustavy souřadnic v rovině ,
$\vec{a}, \vec{b}$ lineárně nezávislé (tj. nenulové a navíc různoběžné) vektory,
$F = P + \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} , \alpha \ne 0 \ne \beta$ .

Je-li $x$ reálné číslo, potom bod $A(x) = P + x\vec{a}$ leží na přímce $P\vec{a}$ . Při vhodné volbě $x$ bude mít
přímka procházející body $A(x), F$ právě jeden průsečík $B(x)$ s přímkou $P\vec{b}$ . Cílem je určit $x$ tak,
aby funkce $f(x) := |A(x) - B(x)|$ resp. $g(x) := |A(x) - B(x)|^2$ (abychom se zbavili
nepříjemné druhé odmocniny) nabývala v tomto bodě svého absolutního minima.

vanok · 18. 03. 2014 10:30

Pozdravujem ↑ Rumburak:
Tu je uvedeny podobny problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Moving_sofa_problem

nejsem_tonda

Ahoj,
kdyz oznacime C vrchol uhlu, Z dany bod a hledame body A, B na ramenech uhlu, pak resenim je podle me usecka AB s nasledujici vlastnosti:

V trojuhelniku ABC je CZ tzv. "isotomic line" vzhledem k vysce prochazejici vrcholem C.

To znamena, ze stredem paty vysky z bodu C a bodu Z je stred strany AB.

vanok · 18. 03. 2014 11:15 — Editoval vanok (18. 03. 2014 12:57)

Poznaka:
Tyc opierajuca uhlom miery $\alpha$ v bode dotyku uhla na strane kanala sirky a sa dotyka uhlom miery $\frac {\pi} 2-\alpha$ na strane kanala sirky b.
Od tial je jednoduche najst funkciu ktoru treba minimalizivat...