Matematické Fórum

pajam · 18. 03. 2014 08:53

Zdravím, potřebovala bych poradit s důkazem:
V normovaném lineárním prostoru dokažte, že pokud x $_{n}$ slabě konverguje k x, pak platí $\parallel x\parallel \le liminf \parallel x_{n}\parallel$ .
Díky za každou radu.

Rumburak · 18. 03. 2014 12:05

Zdravím.

Triviální případ $\parallel x\parallel = 0$ předem vyloučíme.
Zkusil bych to dokázat napřed pro $\parallel x\parallel = 1$ , odkud se věta snadno zobecní pomocí linearity.

Myslím, že se využije:

(1) Slabá konvergence posloupnosti $(x_n)$ k prvku $x$ znamená, že $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$ pro každý
spojitý lineární funkcionál $f$ .

(2) Lineární funkcionál je spojitý právě tehdy, když je na uzavřené jednotkové kouli se středem v bodě 0 omezený.

pajam · 18. 03. 2014 12:42

Tedy ze vztahu $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$ a toho že $f(x)\le M\parallel x\parallel$ dostanu, že $\lim_{n \to \infty} f(x_n) \le M$ .
Jak z toho ale ještě dostat, že $1 \le lim inf \parallel x_{n}\parallel$ ?

pajam · 18. 03. 2014 13:22

Tak jsem našla, že z důsledku HahnBanachovy věty nalezneme funkcionál f takový, že $\parallel f\parallel =1$ a $f(x)=\parallel x\parallel$ .
Tedy potom $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$ -> $\parallel x\parallel =lim f(x_{n})\le liminf \parallel f\parallel *\parallel x_{n}\parallel =liminf\parallel x_{n}\parallel$ .
Stačí to tak?

Rumburak · 18. 03. 2014 15:30

↑ pajam:
Připadá mi to správně.

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2014 08:53

Funkcionální analýza - slabá konvergence

#2 18. 03. 2014 12:05

Re: Funkcionální analýza - slabá konvergence

#3 18. 03. 2014 12:42

Re: Funkcionální analýza - slabá konvergence

#4 18. 03. 2014 13:22

Re: Funkcionální analýza - slabá konvergence

#5 18. 03. 2014 15:30

Re: Funkcionální analýza - slabá konvergence

Zápatí