Matematické Fórum

hans66 · 18. 03. 2014 20:46

Ahoj, chtěl bych Vás požádat o radu s touto limitou

$\lim_{(x,y)\to(-1,-1)} \frac{(x+1)^{2}-(y+1)^{2}}{xy+y+x+1}$
je to tzv limita $\frac{0}{0}$
když udelám $lim_{(x)\to-1}$ tak to taky vychazi $\frac{0}{0}$ i pro $lim_{(y)\to-1}$ , jak tedy dál postupovat?

Freedy · 18. 03. 2014 21:16

Ahoj:

$\frac{(x+1)^2-(y+1)^2}{xy+y+x+1}= \frac{(x+1)^2}{(x+1)(y+1)}-\frac{(y+1)^2}{(x+1)(y+1)} = \frac{x+1}{y+1} - \frac{y+1}{x+1}$
čili:
$\lim_{(x;y)\to[-1;-1]}(\frac{x+1}{y+1} - \frac{y+1}{x+1})$
No a nyní. Co se asi stane, když se bude hodnota zlomku nahoře i dole blížit stejně. Horní a dolní zlomek je úplně stejnej jen je tam x a y. A (x;y) jde do toho samyho bodu, takze to musi být jedna oboje dvoje.
Nebo prostě, když půjdeš po přímce k bodu -1;-1. přímka x = y. Tak prostě pořád budeš mít stejnej zlomek x+1 / y+1 a když bude x = y tak to musí bejt vždy 1. Blížíš se tedy do [-1;-1]
Takže limita:
$\lim_{(x;y)\to[-1;-1]}\frac{x+1}{y+1}-\frac{y+1}{x+1}=1-1=0$

Bati · 18. 03. 2014 21:48

↑ Freedy:
Ahoj,
nemáš pravdu.
Úprava je ještě dobře, ale zdůvodnění

Freedy napsal(a):
No a nyní. Co se asi stane, když se bude hodnota zlomku nahoře i dole blížit stejně. Horní a dolní zlomek je úplně stejnej jen je tam x a y. A (x;y) jde do toho samyho bodu, takze to musi být jedna oboje dvoje.

je hodně odbyté, nepřesné a tím pádem se mu nedá rozumět. Následně ukazuješ, že po přímce x=y vyjde limita 0, to ale neznamená, že daná limita se rovná nule. To bys musel ukázat, že po každé přímce je limita nula.

Ona ale stejně neexistuje. Na to se dá snadno přijít, když vezmu jakoukoliv jinou přímku, procházející (-1,-1), např y=2x+1:
$\frac{x+1}{2x+1+1}-\frac{2x+1+1}{x+1}=\frac12-2\neq0$ .

Hanis · 18. 03. 2014 21:48 — Editoval Hanis (18. 03. 2014 21:49)

Ahoj ,↑ Freedy:,
tvé vysvětlení není korektní.

Freedy · 18. 03. 2014 21:57 — Editoval Freedy (18. 03. 2014 22:08)

Omlouvám se: Už radši nebudu nic psát

Bati · 18. 03. 2014 21:59

↑ Freedy:
Až na to, že y=-x neprochází bodem (-1,-1).

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2014 20:46

Limita

#2 18. 03. 2014 21:16

Re: Limita

#3 18. 03. 2014 21:48

Re: Limita

Freedy napsal(a):

#4 18. 03. 2014 21:48 — Editoval Hanis (18. 03. 2014 21:49)

Re: Limita

#5 18. 03. 2014 21:57 — Editoval Freedy (18. 03. 2014 22:08)

Re: Limita

#6 18. 03. 2014 21:59

Re: Limita

Zápatí