Matematické Fórum

dencek · 18. 03. 2014 19:41

Máme za ukol vyřešit jednoduchý příklad pomocí derivace.
Číslo 20 rozdělte na dvě části tak, aby jejich součin byl největší.
Díky za rady nevim jak s tím začít logicky výsledek si myslím je 10 a 10..

Arabela · 18. 03. 2014 19:45

Ahoj ↑ dencek:,
20 = x + y, odtiaľ $y=20-x$ .
Čo má byť maximálne? Súčin x.y, označme ho napríklad s.
$s = x.y = x(20-x)= -x^{2}+20x$ .
$s'=-2x + 20$
$s'=0$
Odtiaľ vypočítaš x... Ďalej už budeš vedieť?

vanok · 18. 03. 2014 19:49 — Editoval vanok (19. 03. 2014 10:16)

↑ dencek:
Ano to je pravda.
Inac by si mal rozdelenie
10-x, 10+x

Ich sucin je potom.....mensi ako 10.10=100 ... ( preco?) dokonci

dencek · 18. 03. 2014 19:50

↑ Arabela:
No když to spočítáte celý zlobit se nebudu :)

dencek · 18. 03. 2014 19:54

↑ Arabela:
$s'=0$ jen by mě zejímalo jak jsete příšla na toto ??

Arabela · 18. 03. 2014 19:56

↑ dencek:
ako vieš, šanca na extrém funkcie je iba tam, kde je derivácia funkcie nulová. V našom prípade $s'=0$
$-2x+20=0$
$x=10$
V inom bode ako x=10 extrém nastať nemôže. Ešte sa presvedčme, že ide skutočne o maximum, a to pomocou druhej derivácie.
$s''=-2$
$s''(10)=-2<0$
Takže, x=10 a y=20-10=10.
Je to hotové.

Arabela · 18. 03. 2014 19:59

↑ dencek:
Myslela som, že ste v škole už mali, ako sa hľadajú extrémy funkcií pomocou derivácií... Pravda, šlo by to aj cez monotónnosť. To by sme riešili potom $s'>0$ , $s'<0$ ...

dencek · 18. 03. 2014 19:59

↑ Arabela:
Děkuju moc dobrou noc :)

Arabela · 18. 03. 2014 20:01

↑ dencek:
rado sa stalo, dobrú noc aj Tebe...:)
Inak, kolega vanok Ti naznačil, ako by to šlo aj bez derivácií...

Honzc · 19. 03. 2014 06:07

↑ vanok:
Zdravím,
píšeš

Code:

Ich sucin je potom.....mensi ako 20 ... ( preco?) dokonci

spíš bych očekával
Ich sucin je potom.....mensi ako 100

vanok · 19. 03. 2014 10:14

Posdravujem ↑ Honzc:,
Dakujem, za upozoznenie... Hned reeditujem a opravim tu nepozornost.

Inac podobna vlasnost plati aj vseobecnejsie:
Sucin m kladnych cisiel, $c_1,...,c_m$ konstanteho suctu C je maximalny ak su rovnake : $c_1=c_2=...=c_m$
Dokaze to niekto dokazat, aj bez différencialneho poctu?

Cheop · 19. 03. 2014 10:23

↑ vanok:
Bez diferenciálního počtu třeba takto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/20971_bezd.png

vanok · 19. 03. 2014 11:17 — Editoval vanok (19. 03. 2014 11:18)

pozdravujem ↑ Cheop:,
Pre sumy na dve casti tvoja myslienka, ako aj $(a+x)(a-x)=a^2-x^2<a^2$ pre nenulove x su zial zriedkavo pouzite v skole.

Ale aj vo vseobecnej situacii ↑ vanok: sa da najst dokaz bez diferencialneho poctu.

Honzc · 19. 03. 2014 13:13 — Editoval Honzc (19. 03. 2014 13:15)

↑ vanok:
K součinu $c_1,...,c_m$ :
Důkaz nevím, ale co takhle:
Ze všech obdélníků o daném obvodu má největší plochu čtverec
Ze všech kvádrů o daném povrchu má největší objem krychle
atd.

Ale existuje hezčí úloha
Jak rozdělit přirozené číslo n>3 na libovolný počet přirozených sčítanců $n = c_{1} + c_{2} + ... + c_{k}$ tak, aby jejich součin $p = c_{1} \cdot c_{2} \cdot ... \cdot c_{k}$ byl co největší?

vanok · 19. 03. 2014 15:05

Ahoj ↑ Honzc:,
Akoze viem, ze casto mas dobre matematicke myslienky, ten dokaz najdes.

A sa tyka tej druhej vlasnosti, tak viem o co ide, tak necham radost hladat kolegom.

byk7 · 19. 03. 2014 21:45

Z AG nerovnosti vyplývá, že
$\frac{c_1+c_2+\cdots+c_m}{m}\ge\sqrt[m]{c_1c_2\cdots c_m}$
kde rovnost nastává právě tehdy, když
$c_1=c_2=\cdots=c_m$

Mnou daná nerovnost je pak ekvivalentní
$$\frac{C}{m}$^m\ge c_1c_2\cdots c_m$ ,
tedy $(C/m)^m$ je hledané maximum součinu.

vanok · 20. 03. 2014 12:42

Ahoj ↑ byk7:,
Ano to je dokonaly dokaz.
Ale dokazes to urobit aj bez vseobecnej AG nerovnosti?

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2014 19:41

Extrémy v praxi

#2 18. 03. 2014 19:45

Re: Extrémy v praxi

#3 18. 03. 2014 19:49 — Editoval vanok (19. 03. 2014 10:16)

Re: Extrémy v praxi

#4 18. 03. 2014 19:50

Re: Extrémy v praxi

#5 18. 03. 2014 19:54

Re: Extrémy v praxi

#6 18. 03. 2014 19:56

Re: Extrémy v praxi

#7 18. 03. 2014 19:59

Re: Extrémy v praxi

#8 18. 03. 2014 19:59

Re: Extrémy v praxi

#9 18. 03. 2014 20:01

Re: Extrémy v praxi

#10 19. 03. 2014 06:07

Re: Extrémy v praxi

Code:

#11 19. 03. 2014 10:14

Re: Extrémy v praxi

#12 19. 03. 2014 10:23

Re: Extrémy v praxi

#13 19. 03. 2014 11:17 — Editoval vanok (19. 03. 2014 11:18)

Re: Extrémy v praxi

#14 19. 03. 2014 13:13 — Editoval Honzc (19. 03. 2014 13:15)

Re: Extrémy v praxi

#15 19. 03. 2014 15:05

Re: Extrémy v praxi

#16 19. 03. 2014 21:45

Re: Extrémy v praxi

#17 20. 03. 2014 12:42

Re: Extrémy v praxi

Zápatí