Matematické Fórum

emuel · 19. 03. 2014 17:42

$x + y = 1$
$x^4 + y^4 = 7$

Po dosazení vyjde kvartická rovnice, ta se mi nelíbí... nedalo by se toto řešit jinak, řekněme integrálním počtem?

(kdyžtak se omluvám za nesmyslnost, jen si tipuju, příliš jej neovládám)

Bati · 19. 03. 2014 18:19 — Editoval Bati (19. 03. 2014 18:20)

Ahoj.
Integrální počet na to nijak rozumně použít nelze. Asi tě tím nepotěším, ale dá se to vyřešit chytře a stačí k tomu jen umět řešit kvadratickou rovnici. Abych tě nepřipravil o překvapení, napíšu jen pár hintů, které lze postupně použít, ale zkus to vždy nejprve sám.
1)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

3)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

emuel · 20. 03. 2014 00:32

↑ Bati:

tak první dva hinty mě ještě napadly, bohužel u třetího jsem naprosto ztracen...

vanok · 20. 03. 2014 08:58 — Editoval vanok (20. 03. 2014 09:06)

Ahoj ↑ emuel:,
Myslim si, ze kolega ↑ Bati: ti chcel naznacit, ze tvoje cvicenie je vytvorene dvomi rovnicamy typu "symetricke polynomy". Taketo rovnice vieme riesit, tak ze polozime
$S=x+y \\P=xy$ a to umoznuje vyjadrit x, y ked najdeme S,P.
A skutocne povodny system sa da vyjadrit len vdaka S a P ktory potom vyriesime.
Na to sa moze pouzit tato relacia
$x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})=$
$S(x^{n-1}+y^{n-1})-P(x^{n-2}+y^{n-2})$ platna pre kazde cele $n>1$
(Poznamka: tato relacia je znama uz aj stredoskolakom, co sa trochu pripravovali na MO).
Toto by ti malo stacit na uspesne riesenie tvojho systemu.

Bati · 20. 03. 2014 09:14 — Editoval Bati (20. 03. 2014 09:23)

↑ emuel:
Třetím hintem jsem měl na mysli, že po použití těch předchozích bys měl být schopen sestavit kvadratickou rovnici pro neznámou $P=xy$ . Kolega ↑ vanok: ti na to celé poskytl obecnější pohled, i když k řešení tohoto cvičení není nezbytně nutný.

Pokud by stále nebylo jasné jak pokračovat, tak sem napiš soustavu, ke které ses dopracoval.

vanok · 20. 03. 2014 10:39

Pozdravujem ↑ Bati:,
Ano, vseobecny pohlad nie je nutny v tomto pripade, ale princip je tam tak ci tak pouzity.
Akoze je uzitocny na podobne problemy, tak som ho pripomenul.
I ked o symetrickych polynomoch by sme mohli o mnoho viac hovorit, ale to nie je ciel tohto vlakna.

Bati · 20. 03. 2014 11:57

Ahoj ↑ vanok:,
máš pravdu, že ten princip je v tom obsažený. Osobně symetrické polynomy neznám, resp. neznám jejich jiná využití než toto, proto jsem se o nich nezmiňoval.

Jj · 20. 03. 2014 12:00

↑ Bati:↑ vanok:

Zdravím, taky jsem se poučil :)

Honzc · 20. 03. 2014 14:20

↑ emuel:
Pro soustavu rovnic
$x+y=1\\ x^{2k}+y^{2k}=F_{2k}+2F_{2k-1}$ pro $k\in N$
kde $F_{n}$ jsou členy Fibonacciho psloupnosti ( $F_{1}=1,F_{2}=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ )
(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...)
platí pro x, y:
$x_{1}=\varphi ,y_{1}=1-\varphi \\ x_{2}=1-\varphi ,y_{2}=\varphi$ kde $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ je zlatý poměr
Důkaz:
Platí:
$\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}$ a $1-\varphi =-\frac{1}{\varphi }$
pak máme
$\varphi ^{2k}+\frac{1}{\varphi ^{2k}}=F_{2k}+2F_{2k-1}$
...
$F^{2}_{2k}+1=F^{2}_{2k-1}+F_{2k}\cdot F_{2k-1}$
$L:F^{2}_{2k}+1=F_{2k+1}\cdot F_{2k-1}=F^{2}_{2k-1}+F_{2k}\cdot F_{2k-1}$
$P:F^{2}_{2k-1}+F_{2k}\cdot F_{2k-1}$
$L=P$ cbd
U tvého případu: $F_{2k}+2F_{2k-1}=3+2\cdot 2=7$ platí.

vanok · 20. 03. 2014 14:54 — Editoval vanok (20. 03. 2014 14:56)

Ahoj ↑ Honzc:,
Co pises je pravda, ale prave to je treba dokazat ( co sa tyka realnych korenov).

$x+y=1\\ x^{4}+y^{4}=7$

Nezda sa mi, ze od tialto by to niekto videl na prvy pohlad.

zdenek1 · 20. 03. 2014 16:00

↑ emuel:
Všechno už tu bylo
Odkaz

vanok · 20. 03. 2014 17:54

Ahoj ↑ zdenek1:,
Pekny postreh a dokonala pamat tvojich archivov.
Presne tuto myslienky vyjadril aj kolega ↑ Bati:.
A iste cakal nieco podobne ako to co si napisal.
Dufajme, ze to pozitivne vyuzije aj kolega ↑ emuel:.

Tiez som rad, ze toto bola prilezitost ukazat nieco ( dufam zaujimave) o symetrickych polynomoch a dat nove nastroje ako riesit podobne systemy.

Honzc · 21. 03. 2014 08:04 — Editoval Honzc (21. 03. 2014 13:18)

↑ vanok:
Zdravím,
já netvrdím, že je to na první pohled vidět, ale důkaz, že to tak je, jsem ti podal.
A samozřejmě, kdo to ví, tak nemusí nic počítat.

Poznámka:
Řešení z mého minulého příspěvku
$x+y=1\\ x^{n}+y^{n}=F_{n}+2F_{n-1}$ platí i obecně pro n>1 (nejenom pro sudé mocniny)

vanok · 21. 03. 2014 10:16 — Editoval vanok (21. 03. 2014 10:18)

↑ Honzc:,
Dokaz, ze mas 2 riesenia zo 4roch ano. Ale nie ako si mal tu myslienku...
To by mozno zaujimalo stredoskolakov ak by si im napisal ako ti napadlo prave to skusit.
Co sa tyka
$x+y=1\\ x^{10}+y^{10}=123$
Mozes pochopitelne pouzit ↑ vanok:, i ked x+y=1, je velmi sympaticka relacia, ktora moze umoznit najst xy aj trochu rychlejsie.

Myslis, ze aj ine varianty cviceni co maju suvis zo symetrickymi polynommy by bolo zaujimave tu riesit?

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2014 17:42

Kvartická rovnice

#2 19. 03. 2014 18:19 — Editoval Bati (19. 03. 2014 18:20)

Re: Kvartická rovnice

#3 20. 03. 2014 00:32

Re: Kvartická rovnice

#4 20. 03. 2014 08:58 — Editoval vanok (20. 03. 2014 09:06)

Re: Kvartická rovnice

#5 20. 03. 2014 09:14 — Editoval Bati (20. 03. 2014 09:23)

Re: Kvartická rovnice

#6 20. 03. 2014 10:39

Re: Kvartická rovnice

#7 20. 03. 2014 11:57

Re: Kvartická rovnice

#8 20. 03. 2014 12:00

Re: Kvartická rovnice

#9 20. 03. 2014 14:20

Re: Kvartická rovnice

#10 20. 03. 2014 14:54 — Editoval vanok (20. 03. 2014 14:56)

Re: Kvartická rovnice

#11 20. 03. 2014 16:00

Re: Kvartická rovnice

#12 20. 03. 2014 17:54

Re: Kvartická rovnice

#13 21. 03. 2014 08:04 — Editoval Honzc (21. 03. 2014 13:18)

Re: Kvartická rovnice

#14 21. 03. 2014 10:16 — Editoval vanok (21. 03. 2014 10:18)

Re: Kvartická rovnice

Zápatí