Matematické Fórum

Sherlock

Mám bod $A[2;4]$ a přímku $p:x-2y+1=0$ . Mám na přímce $p$ určit bod $R[r_{1},r_{2}]$ tak, aby odchylka přímky $AR$ a $p$ byla $\frac{\pi }{4}$ .

Napadlo mě:

(1) Vektor (normálový) přímky $AR$ bude ve tvaru $m(4-r_{2},r_{1}-2)$ , udělám tedy rovnici pro skalární součin tohoto normálového vektoru a normálového vektoru $p$ , budu mít 1 rovnici o 2 neznámých.

(2) Pro bod $R[r_{1},r_{2}]$ platí, že dosadíme-li jej do rovnice, $p:x-2y+1=0$ vyjde nula. Vznikne tedy další rovnice o 2 neznámých.

A teď by se měla řešit soustava.. Přijde mi to ale jako ohromně zdlouhavý postup, neexistuje nějaký lepší ve smyslu kratší? :)

gadgetka

Ahoj, pokud bych si udělala náčrtek, tak zjistím, že přímka v určitém bodu protíná osu x. Kdybych v tomto bodu vedla přímku s odchylkou 45° od zadané přímky a poté k ní sestrojila rovnoběžku, která prochází bodem A, je řešení podstatně jednodušší, ale jeho základem by byl náčrtek, což nevím, jestli ti o takové řešení jde. :)

Edit: Nakonec nemusíš dělat ani náčrtek, jen si vypočítat průsečík přímky p a osy x, viď? ;)

Cheop · 20. 03. 2014 10:01 — Editoval Cheop (20. 03. 2014 10:42)

↑ gadgetka:
Ano opravdu bych tu přímku p otočil o +- 45 stupňů.
Otočení o + 45 stupňů:
$y=kx+q$
Výpočet k:
$k=\frac{\frac 12+1}{1-\frac 12}\\k=3$
Rovnice přímky:
$y=3x+q$ - dosadíme bod A
$4=3\cdot 2+q\\q=-2$
Rovnice:
$y=3x-2$ - průsečík s přímkou $x-2y+1=0$ - bod R
$x-2y+1=0\\y=3x-2\\x-6x+4+1=0\\x=1\\y=3x-2\\y=3-2=1$
Bod R
$R_1=(1;\,1)$
Otočení o - 45 st.
$y=kx+q$
Výpočet k:
$k=\frac{\frac 12-1}{1+\frac 12}\\k=-\frac 13$
Rovnice přímky:
$y=-\frac x3+q$ - dosadíme bod A
$4=-\frac 23+q\\q=\frac{14}{3}$
Rovnice:
$y=-\frac x3+\frac{14}{3}$ - průsečík s přímkou $x-2y+1=0$ - bod R
$x+\frac{2x}{3}-\frac{28}{3}+1=0\\x=5\\y=-\frac 53+\frac{14}{3}\\y=3$
Bod R
$R_2=(5;\,3)$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/06565_otoc4.png

Jiný způsob:
Protože má být odchylka 45 stupňů pak nám vznikne pravoúhlý trojúhelník a teady:
1) určíme rovnici kolmice na přímku p procházející bodem A
2) určíme průsečík těchto přímek
3) určíme vzdálenost bodu A od přímky p = poloměr kružnice se středem v průsečíku z bodu 2)
4) průsečík kružnice z bodu 3) a přímky p jsou hledané body R

Řešíme:
$x-2y+1=0\\(x-3)^2+(y-2)^2=5$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/08545_kapr.png

Rumburak

↑ Aktivní:

Jde to, myslím, ještě jednodušeji (mírnou modifikací původního postupu) .

Normálový vektor přímky $p$ (tj. nenulový vektor kolmý k této přímce) je (např.) $\vec{n} = (1, -2)$ .
Přímku $AR$ označme $q$ , takže $R-A$ je jejím směrovým vektorem.

Podmínka, že přímky $p, q$ mají odchylku $\alpha = \frac{\pi}{4}$ , je ekvivalentní s podmínkou, že odchylka vektorů $\vec{n}, R-A$
je $\frac{\pi}{2} - \alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ .

Dále bude možno využít vzorec pro kosinus odchylky dvou vektorů (ten, který pracuje s absolutní hodnotou).

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2014 20:14 — Editoval Aktivní (19. 03. 2014 20:16)

Vektory, odchylka, přímka

#2 19. 03. 2014 20:29 — Editoval gadgetka (19. 03. 2014 20:32)

Re: Vektory, odchylka, přímka

#3 20. 03. 2014 10:01 — Editoval Cheop (20. 03. 2014 10:42)

Re: Vektory, odchylka, přímka

#4 20. 03. 2014 10:23 — Editoval Rumburak (20. 03. 2014 10:41)

Re: Vektory, odchylka, přímka

Zápatí