Matematické Fórum

Rumburak · 06. 03. 2014 10:42

↑↑ unknow005:

Nedoroumění možná pramení z nepřesnosti ve vyjadřování.
Ve Vaší větě

U každého bodu znám jeho vzdálenost od středu trubky.

jsem "vzdálenost od středu trubky" pochopil jako délku úsečky AS , zatímco Vy tak nazýváte číslo f .

Podle Vašeho posledního obrázku tedy máme rovnici $f^2 + a^2 = r^2$ (Pythagorova věta), odtud

$a^2 = r^2 - f^2\\ a=\sqrt{ r^2 - f^2}$ ,

takže $|AC| = r - a = r-\sqrt{ r^2 - f^2}$ .

unknow005

↑ Rumburak:

Ano, tak už to chodí jak má.
Mohl bych se ještě optat, bylo by složité upravit vzorečky tak aby byl výsledkem průnik dvou trubek, kdy ta menší bude vyosená, respektive jejich osy se nebudou protínat, ale menší trubka bude směřovat do větší? Pod různými úhly.

Děkuji!

Rumburak

↑ unknow005:
Jak by ty upravené vzorečky vypadaly, to takhle spatra samozřejmě nevím, musel bych se pustit do výpočtů
znovu od začátku (podrobný postup stávajícího řešení jsem si neschoval), navíc při tomto komplikujícím zobecnění.
Idea sice pricipiálně zůstává jednoduchá (jde o to parametricky vyjádřit křivku, jejíž body jsou popsány soustavou
rovnic), ale vlastní řešení by bylo poněkud pracné a chybí mi k tomu časové kapacity. Takže se omlouvám.

unknow005 · 11. 03. 2014 16:03

↑ Rumburak:

Nic se neděje :) ... hodně jste mi již pomohl. Zkusím si obnovit znalosti s 3D a průnik libovolných těles pak bude jednodušší a bez omezení.

Děkuji.

unknow005

↑ unknow005:

Zdravím,
vytvořil jsem si aplikaci, která mi z 3D projekce dvou trubek vytvoří jejich společný průnik (trubky mohou být i osově nesouměrné atd.). Výsledkem je množina bodů (XYZ), kdy Y opisuje povrch velké trubky (viz. obrázek). K tomu aby se z toho udělal plán pro CNC je třeba provést "korekci" všech bodů pro 2D zobrazení. Na obrázku je ta "rovina" světle modře čárkovaná. Z červené části (průnik dvou trubek) je třeba udělat modrou nepřerušovanou čáru.

Mohl by mi někdo prosím poradit jak přepočítat hodnotu Y každého bodu? Česky bych to nazval, že se část povrchu trubky musí narovnat.

Nějaká rada?

EDIT: u osově souměrného průniku jsem používal vzorec $L = R * arcsin (x / R)$ ... nevím ale jak to aplikovat.

Díky!

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/90768_kresba_korekce.png

Rumburak · 24. 03. 2014 11:47

↑ unknow005:

Když kružnice na posledním obrázku bude mít rovnici $x^2 + y^2 = R^2$ , kde $x$ je vodorvná souřadnicová osa a $y$ osa svislá
(jak to bývá obvyklé), pak bodu $[x, y] , y > 0$ ležícímu na kružnici bude nutno přiřadit (na modré přímce o rovnici $y=R$ )
bod $\[R\arcsin \frac{x}{R}, R\]$ . Tím je "narovnávání" červeného kruhového oblouku jednoznačně popsáno. Snad toto upřesnění pomůže.

unknow005 · 24. 03. 2014 12:09

↑ Rumburak:

Jj, je to ten vzorec, který jsem psal v minulém příspěvku. Děkuji za potvrzení. Matematicky mi to taky vychází.

unknow005

↑ Rumburak:

Mohl bych se ještě optat na jeden problémek? Jedná se o obyčejnou kružnici a obvod kruhové výseče mezi dvěma body (v kartézské soustavě). Nějak to mám zpracované v kódu, ale přijde mi, že jsem si to zbytečně moc zkomplikoval.

Jaký nejjednodušší vzoreček by šel použít, když znám oba body a poloměr kružnice? Výsledkem by měla být vzdálenost po obvodu kružnice mezi oběma body (viz. obrázek). Druhý bod může být kdekoliv na kružnici.

Děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/61788_kruh.png

Rumburak · 24. 03. 2014 16:33

↑ unknow005:

Především můžeme vyjít z předchozího postupu.

Alternativně:
Ta délka oblouku $AB$ na kružnici je rovna velikosti odpovídajícího středového úhlu (v radiánech) vynásobené
poloměrem kružnice, nutno tedy zjistit v rovnoramenném trojúhelníku $ABS$ ( $S$ je střed kružnice) úhel $ASB$
při vrcholu $S$ , což umíme nejjednoduššeji asi pomocí vzorce pro úhel dvou vektorů (předpokládám, že body jsou
dány analyticky, tj. svými souřadnicemi). Pro úhel $\sigma \in \langle 0, \pi \rangle$ sevřený nenulovými vektory $\vec{a}, \vec{b}$ platí

$\cos{\sigma} = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ .

V čitateli je skalární součin vektorů daný vzorcem $\vec{a}\cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y$ , kde $a_x, a_y$ jsou odpovídající souřadnice
vektoru $\vec{a}$ (atd.), ve jmenovateli se násobí velikosti vektorů. V našem případě, kdy $\vec{a} = A-S , \vec{b} = b-S$ ,
bude $|\vec{a}| = |\vec{b}| = R$ , kde $R$ je poloměr kružnice. Takže

$\cos{\sigma} = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{R^2}$ ,

$\sigma = \arccos \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{R^2}$ ,

$l(A, B) = R\cdot\arccos \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{R^2}$ ,

kde $l(A, B)$ značí hledanou délku oblouku.