Matematické Fórum

kucape · 21. 03. 2014 10:57 — Editoval kucape (21. 03. 2014 10:58)

Zdravím, mám tady pár příkládů, s kterými neumím pohnout. Tady je první.

Do čtverce ABCD se stranou a = 20 cm je vepsána kružnice k. Z vrcholů čtverce jsou opsány 4 kružnice s poloměrem r = a/2.

Obrázek: //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/95687_1.png

Jaký je obsah vyznačené části ? (černě vyšfrafováno)

Obsah vyznačené části činí x% obsahu čtverce. Kolik je x ?

Mohli byste mi poradit ?

Děkuji.

Jj · 21. 03. 2014 11:05

↑ kucape:

Dobrý den, řekl bych, že obsah jednoho bílého obrazce v rohu čtverce se rovná rozdílu obsahu čtverce o straně a/2 a čtvrkruhu o poloměru a/2. Z tohoto obrazce se dá složit celá bílá plocha. To už dáte.

marnes · 21. 03. 2014 11:07 — Editoval marnes (21. 03. 2014 11:08)

↑ kucape:
První nápad bez nějakého dlouhého přemýšlení mám, že je to 8 stejných kruhových úsečí, se středovým úhlem 90 st, na což je tuším přímo vzorec

kucape · 21. 03. 2014 11:18

↑ Jj:

Myslíte takhle: $4S_{celkem} = (\frac{a}{2})^{2} - (\frac{1}{4}\pi\frac{a^{2}}{2^{2}})$ ?

marnes · 21. 03. 2014 11:22 — Editoval marnes (21. 03. 2014 11:23)

↑ kucape:
Pro jednu úseč je vzorec $S=\frac{r^{2}}{2}(x-sinx)$ kde x je úhel v obloukové míře

kucape · 21. 03. 2014 11:23

↑ marnes:
Co se týče Vašeho řešení..
Myslíte tehle vzorec pro obsah kruhové úseče: $S = \frac{\pi r^{2}}{360°}\alpha °-\frac{1}{2}r^{2}sin\alpha$ ?

Ale pak tenhle obsah musím vynásobit dvěmi abych získal 1 obrazec v rohu. Je to správně ?

marnes · 21. 03. 2014 11:24

↑ kucape:
ano

kucape · 21. 03. 2014 11:32

↑ marnes:↑ marnes:

Dobře díky, neveděl jsem že ty kruhové výseče v tom jednou obrazci jsou stejného charakteru..

gadgetka · 21. 03. 2014 11:55

Naprosto laické řešení, ale též řešení:
Když si rozdělíš čtverec osami jeho stran na čtyři malé čtverce, uvidíš, že volná plocha u vrcholů se shoduje s volnou plochou u středu kružnice čtverci vepsané.
Zřejmě nejjednodušší postup na zjištění velikosti vyšrafované plochy:
Od plochy čtverce odečteme plochu vepsané kružnice a dostaneme plochy čtyř obrazců u vrcholů čtverce, které jsou totožné s plochou čtyř obrazců u středu kružnice čtverci vepsané. Když tuto plochu vynásobíme dvakrát a odečteme ji od plochy čtverce, získáme plochu vyšrafované části zadaného obrazce.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/98727_graf_780.png

$a^2-\pi r^2=a^2-\pi $\frac a2$^2=a^2-\pi \frac{a^2}{4}=\frac{4a^2-\pi a^2}{4}=\frac{a^2 (4-\pi)}{4}$
$\frac{a^2 (4-\pi)}{4}\cdot 2=\frac{a^2 (4-\pi)}{2}$
$a^2-\frac{a^2 (4-\pi)}{2}=\frac{2a^2-4a^2+\pia^2}{2}=\frac{\pi a^2-2a^2}{2}=\frac{a^2 (\pi-2)}{2}$