Matematické Fórum

TerezaG

Zdravím všechny,
potřebovala bych opět poradit.

Mám funkci definovanou vztahem $f(x,y)=F(u(x,y), v(x,y))$ , kde $F(u,v)$ má spojité druhé parciální derivace a $u(x,y)=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , $v(x,y)=\cos y$
a mám vyjádřit $\frac{\partial f}{\partial x }\cdot \frac{\partial f}{\partial y}$ (snad jsem to napsala správně, neposlouchá mě v tomto LaT. zápis ... v čitateli je 2. parciální derivace..) pomocí parciálních derivací funkce $F(u,v)$ .

Tak jsem pochopila, že mám funkci zadanou jakoby pomocí u a v a někde uvnitř je x a y, které potřebuji. Takže budu derivovat složenou funkci...podle vzorce, kde zderivuji vnější funkci, krát zderivuji funkci vnitřní.

To je asi tak vše, co jsem z toho pochopila.
Jak se provádí parciální derivace chápu, znám u tohoto případu i vzorec $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial F}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ ale dohromady mi to nějak dát nejde... proč se zrovna uvádí tento vzorec ? a jak postupovat, abych se dobrala k rozsáhlému výsledku, které je uveden jako řešení..

Moc Vám děkuji.

Jj · 20. 03. 2014 08:31

↑ TerezaG:

Dobrý den, pro upřesnění:

Máte vyjádřit $\frac{\partial^2f }{\partial x \partial y}$ ?

TerezaG · 20. 03. 2014 11:55

↑ Jj:
Ano přesně takhle jsem se to snažila napsat.
Děkuji, takto je to správně.

Rumburak · 20. 03. 2014 12:10

↑ TerezaG:

Ahoj.

Uvedený postup výpočtu první p.d. podle x je správný, dále se postupuje analogicky s tím, že bude nutno použít
navíc ještě větu o derivaci součtu funkcí a součinu funkcí.

Také je potřeba si uvědoimit, jak máte definováno $\frac{\partial^2f }{\partial x \partial y}$ : zda jako $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial x}$$ nebo jako $\frac{\partial}{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial y}$$ ,
literatura není v tom jednotná.

TerezaG · 20. 03. 2014 12:30

↑ Rumburak:
Tak teď nechápu, proč budu používat větu o derivaci součtu a součinu dvou funkcí ?

Jinak v zadání máme pouze napsaný člen.. druhé parciální derivace, ale jakým způsobem je to definováno, uvedeno není.

Děkuji

Rumburak

↑ TerezaG:

Protože ta první parc. derivace, například $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial F}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ , je součtem
dvou součinů jistých funkcí .

Jak je druhá p.d. (podle různých proměnných) definována, muselo být uvedeno na přednášce
nebo v nějakých učebních matreriálech. Avšak platí věta shruba tohoto znění:
Jestliže funkce $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial x}$$ , $\frac{\partial}{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial y}$$ jsou spojité, pak jsou si rovny.

Jj · 20. 03. 2014 16:19 — Editoval Jj (20. 03. 2014 18:18)

↑ TerezaG:

Řekl bych, že podle zadání jsou podmínky pro záměnnost smíšených derivací splněny.
Jelikož je $\frac{\partial v}{\partial x}=0$ , bude se lépe derivovat v pořadí $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial x}$$ .
Smíšená derivace se tak zjednoduší na $\frac{\partial^2f }{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y} $\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x }$$ .

Edit - doplněno:

Ještě zkusím derivaci, snad se to bude podobat výsledku:

$\frac{\partial^2f }{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y} $\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x }$=$\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial u}$\cdot \frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial F}{\partial u}\cdot $\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial x }$=$
$=$\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y }+\frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y }$\cdot \frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u^2}{\partial x \partial y}$

TerezaG · 21. 03. 2014 16:02

↑ Jj:
Moc se omlouvám, ale nechápu jednak, kde jsme přišli na to, že $\frac{\partial v}{\partial x}=0$ , nerozumím nějak podmínce záměnnosti smíšených derivací, chápu, že pokud prohodím x a y ve jmenovateli, není to stejné..
A nakonec mám problém nějak s roznásobením posledního členu, abych dostala tento výsledek : $=$\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y }+\frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y }$\cdot \frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u^2}{\partial x \partial y}$

Moc moc děkuji za objasnění.

Rumburak

↑ TerezaG:

1. Vztah $\frac{\partial v}{\partial x}=0$ plyne z faktu, že funkce $v(x,y):=\cos y$ vzhledem k proměnné $x$ je konstantní
(na $x$ závisí pouze formálně, ale nikoliv fakticky) .

2. Větu o záměně pořadí při dvojím parciálním derivování podle různých proměnných jsme již nakousli zde ↑ Rumburak: .
Příklad:

$\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial(x^2 \sin y)}{\partial x}$ = \frac{\partial}{\partial y}$2x \sin y$ = 2x \cos y$ ,

$\frac{\partial}{\partial x}$\frac{\partial (x^2 \sin y)}{\partial y}$ =\frac{\partial}{\partial x}(x^2 \cos y) = 2x \cos y$ .

takže v obou případech jsme dostali týž výsledek. Ale úplná samozřejmost to není, doporučuji najít si přesné znění věty
ve studijních materiálech .

3. Pokud jde o výraz v závorce, tak ten vznikl podle věty o derivaci složené funkce, protože v této úloze je potřeba
vnímat $\frac{\partial F}{\partial u}$ jako složenou funkci.

TerezaG · 26. 03. 2014 22:28

↑ Rumburak:
Dobře, děkuji, tak toto všechno chápu, až na ten 3. bod ...
Já opravdu nechápu, jak mi vznikne ten vzorec, který vychází, dalo by se to, prosím, nějak rozepsat ?
Chápu to, že se někde derivuje součin a složená funkce, ale pořád mi to ne a ne vyjít, aby mi vzniklo toto : $=$\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y }+\frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y }$\cdot \frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u^2}{\partial x \partial y}$

Budu moc vděčná za nějaké bližší rozepsání, děkuji :)

Rumburak

↑ TerezaG:

Máme $f(x,y)=F(u(x,y), v(x,y))$ a už víme, že

(0) $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x }+\frac{\partial F}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ .

Na tuto rovnost máme nyní aplikovat parc. derivaci podle $y$ . Postupujme v několika krocích.

I. Pravá strana rovnosti (0) je součtem dvou funkcí, takže podle věty o derivaci součtu dvou funkcí dostáváme

(1) $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial x}$=\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$+\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$ .

II. Při drerivování (podle $y$ ) první "velké závorky" na pravé straně rovnosti (1) musíme respaktovat, že
uvnitř ní je součin dvou funkcí, tudíž nutno postupovat podle věty o derivaci součinu funkcí. Obdržíme

(2) $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$= \frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial u}$\cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial u}{\partial x}$$ .

Analogicky postupujeme s členem $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$ .

III. Nyní k postupu s $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial u}$$ . To, co je v závorce, je zkráceným zápisem výrazu $\frac{\partial F}{\partial u}(u(x,y), v(x, y))$ .
Proto musíme postupovat podle věty o derivaci složené funkce:

$\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial u}$ = \frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ .

Obdobně i v dalších podobných případech.

Snad to už budeš umět poskládat.

TerezaG · 28. 03. 2014 22:44

↑ Rumburak:
Děkuji moc, už to chápu, až na poslední člen : $\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial u}$ = \frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ , nechápu, kde se vzal výraz - smíšený součin ?

Jinak chápu, moc moc děkuji.

Rumburak

↑ TerezaG:

Tak podrobněji.

Budeme-li derivovat $G = G(u(x,y), v(x,y))$ podle $y$ , pak podle věty o derivování slož. fce platí

(1) $\frac{\partial}{\partial y} G =\frac{\partial G}{\partial y}=\frac{\partial G}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y }+\frac{\partial G}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ .

Když do (1) za $G$ dosadíme $\frac{\partial F}{\partial u}$ , obdržíme

$\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial u}$ = \frac{\partial $\frac{\partial F}{\partial u}$}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y }+\frac{\partial $\frac{\partial F}{\partial u}$}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ .

Ale vysvětlit to ještě podrobněji už neumím :-).

TerezaG · 31. 03. 2014 17:23

↑ Rumburak:
Děkuji moc, už chápu vše :)

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2014 01:16 — Editoval TerezaG (20. 03. 2014 01:17)

Parciální derivace

#2 20. 03. 2014 08:31

Re: Parciální derivace

#3 20. 03. 2014 11:55

Re: Parciální derivace

#4 20. 03. 2014 12:10

Re: Parciální derivace

#5 20. 03. 2014 12:30

Re: Parciální derivace

#6 20. 03. 2014 15:54 — Editoval Rumburak (20. 03. 2014 15:56)

Re: Parciální derivace

#7 20. 03. 2014 16:19 — Editoval Jj (20. 03. 2014 18:18)

Re: Parciální derivace

#8 21. 03. 2014 16:02

Re: Parciální derivace

#9 21. 03. 2014 16:50 — Editoval Rumburak (21. 03. 2014 16:53)

Re: Parciální derivace

#10 26. 03. 2014 22:28

Re: Parciální derivace

#11 27. 03. 2014 10:44 — Editoval Rumburak (27. 03. 2014 10:48)

Re: Parciální derivace

#12 28. 03. 2014 22:44

Re: Parciální derivace

#13 31. 03. 2014 09:34 — Editoval Rumburak (31. 03. 2014 09:42)

Re: Parciální derivace

#14 31. 03. 2014 17:23

Re: Parciální derivace

Zápatí