Matematické Fórum

zlomenavetev · 23. 03. 2014 15:49

Zdravím, mám tu příklad a nevím jak začít. Pomůže prosím někdo?

Určete odchylku osy y a tečny sestrojené v bodě $(1;1;\sqrt{3})$ k průsečnici rotačního hyperboloidu $z = \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}$ s rovinou $x = 1$ .

Freedy · 24. 03. 2014 00:26

Ahoj,

průsečík té roviny a hyperboloidu bude:
$z=\sqrt{2+y^2}$
Takže to bude vlastně jen jedna část (větev v rovině, nevim jak se to jmenuje v prostoru, štít možná) toho hyperboloidu.
Nyní to přepíšeš do obecné rovnice hyperboly v rovině:
$\frac{z^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$
Jsme nyní v rovině x = 1, takže můžeme používat rovinné křivky. Dosadíme body dotyku:
$\frac{z\sqrt{3}}{2}-\frac{y}{2}=1$
$z\sqrt{3}-y-2=0$
Je rovnice tečny v rovině x = 1 k hyperbolě z =(2+y^2)^(1/2)
Normálový vektor této tečny je:
$\vec{n}=(-1;\sqrt{3})$
směrový vektor bude: $\vec{v}=(\sqrt{3};1)$

Odchylka směrového vektoru a osy y je odchylka vektorů:
$\vec{v}=(0;\sqrt{3};1)$ a vektoru osy y: $\vec{v}=(0;1;0)$
Dostáváš tedy:
$\cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\varphi =30°$

jelena · 24. 03. 2014 01:00

↑ Freedy:

Zdravím,

pokud je úloha v prostoru, tak přímka nebude mít normálový vektor. Můžeme mluvit o normálovém vektoru tečné roviny, ve kterém leží přímka-tečna. Ovšem nebude mít jen 2 souřadnice - jen takový rychlý náhled na Tvůj návrh. Souhlasíš? Děkuji.

Rumburak

↑ zlomenavetev:

Ahoj.

Jiný způsob řešení - převedením prostorové úlohy na úlohu rovinnou. ↑ Freedy: také vykročil touto cestou,
ale nešel po ní zcela důsledně.

Využijeme skutečnosti , že prostorové přímky $m, n$ mají tutéž odchylku jako přímky $m, n'$ , kde $n'||n$ .

Jak již naznačil ↑ Freedy:, průsečnici $p$ ploch o rovnicích $z = \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}$ , $x = 1$ můžeme
alternativně vyjádřit soustavou rovnic $z = \sqrt{2+y^{2}}$ , $x = 1$ .
Křívka $p$ a tedy i každá její tečna bude ležet v rovině $x = 1$ , která je rovnoběžná s rovinou $x = 0$ .
Situaci z úlohy můžeme ortogonálně promítnout do roviny $x = 0$ (v níž máme souřadnicovou soustavu Pyz),
tím získáme křivku $p'$ o rovnici $z = \sqrt{2+y^{2}}$ a její bod $[1;\sqrt{3}]$ .
Zbývá nalézt tečnu ke křivce $p'$ v uvedeném bodě (v soustavě Pyz) a její odchylku od osy y, což je už
středoškolská úloha.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Freedy · 24. 03. 2014 16:52

↑ jelena:

zdravím také,

já samozřejmě vím, že v prostoru existuje nekonečně mnoho normálových vektorů přímky, ale pouze jeden z nich, (respektive 2 ještě k němu opačný) leží v rovině x = 1. Tím pádem můžu s tím pracovat jako s úlohou v rovině. A tečna k hyperbole, může se dělat přes derivaci, ale analytické řešení je zde také v pořádku.

zlomenavetev · 26. 03. 2014 21:04

Omlouvám se, že odepisuji až teď. Příklad by se měl řešit před parciální derivace (vím, že to bylo asi nutné uvést). Zkoušel jsem to počítat a ve finále mi vyšlo, bohužel špatně. Zkusil by někdo přijít na chybu? Výsledek od Freedy v příspěvku #2 je správně.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/64255_DSC_0044.jpg

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2014 15:49

odchylka osy a tečny

#2 24. 03. 2014 00:26

Re: odchylka osy a tečny

#3 24. 03. 2014 01:00

Re: odchylka osy a tečny

#4 24. 03. 2014 10:18 — Editoval Rumburak (24. 03. 2014 16:45)

Re: odchylka osy a tečny

#5 24. 03. 2014 16:52

Re: odchylka osy a tečny

#6 26. 03. 2014 21:04

Re: odchylka osy a tečny

Zápatí