Matematické Fórum

Tom711 · 25. 03. 2014 17:34 — Editoval Tom711 (25. 03. 2014 17:35)

Dobrý deň

Dostal som za úlohu porovnať povrchy gúl v kuželi.
Nakreslil som si teda osový rez a cez podobnosť trojúholníkov som dokázal vypočítať polomer väčšej gule.
$r_{1}$ označujem ako polomer väčsej gule
$s$ je strana kužela
$r$ je polomer kužela
$v$ výška kužela

$\frac{r_{1}}{r}=\frac{v-r_{1}}{s}$
$r_{1}s=vr-r_{1}r$
$r_{1}s+r_{1}r=vr$
$r_{1}(s+r)=vr$
$r_{1}=\frac{vr}{s+r}$

Samozrejme by som teraz potreboval ešte $r_{2}$ , polomer menšej gule a to už by som zvládol vypočítať povrch podla vzorcu
$S=\frac{4}{3}\pi r^{2}$
A následne porovnal povrchy ako
$S_{2}:S_{1}$

Takže moja otázka je ako vypočítať $r_{2}$
Ďakujem velmi pekne!

Tom711 · 25. 03. 2014 21:12

Vedel by mi niekto teda poradiť ako na to?

gadgetka · 25. 03. 2014 21:21

Ahoj, Tome, a těch koulí v tomu kuželu je kolik? Dvě nebo nekonečně mnoho? ;)

gadgetka · 25. 03. 2014 21:23

Třeba ti pomůže toto k odpíchnutí:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=285252

Tom711 · 25. 03. 2014 22:05

Ahoj

Áno tie gule sú tam dve.
Dostali sme ešte radu že sa to bude robiť cez podobnosť trojuholníkov...
Ten prvý bol lahší pretože tam som mohol lahko vyjadriť $r_{1}$

Keď som potom skúsil dosádzať ten výsledok, teda $r_{1}$ do tej druhej tak vznikol akýsi obrovský superzlomok :D

A taktiež sa obávam, že ten kužel nieje rovnostranný...

gadgetka

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

gadgetka

Tom711 napsal(a):
$S=\frac{4}{3}\pi r^{2}$

Chyba ve vzorci na výpočet obsahu. To, cos ty uvedl, je skoro objem. ;)
Správně je vzorec na výpočet povrchu koule:
$S=4\pi r^2$

Tom711 · 26. 03. 2014 06:04

Za ten vzorec na povrch sa ospravedlňujem.

Ale dovolím si tvrdiť že tie polomery gúl niesu kolmé na výšku ale na stranu keďže sa jej musia dotýkať. Pravý uhol je teda pri bodoch F,E a potom sa tie pomery budú inak zapisovať myslím...

Honzc · 26. 03. 2014 09:40 — Editoval Honzc (26. 03. 2014 14:57)

↑ Tom711:
Máš pravdu, že ↑ gadgetka: to má špatně.
Správný výpočet:
Pro snažší počítání je třeba si uvědomit následující:
1. Protože se má jednat o poměr povrchů koulí bude jejich poměr roven poměru druhých mocnin jejich poloměrů.
2. Předchozí znamená, že to bude i poměr ploch kruhů v osovém řezu kužele.
3. Pro ještě lepší počítání je dobrá následující úvaha (pravda)
Když osový řez rozdělíme na dva trojúhelníky tak, že dělící přímka bude kolmá na osu rovnoramenného trojúhelníka a bude procházet "vrcholem" spodní kružnice, dostaneme 2 podobné rovnoramenné trojúhelníky (označme délku základny $2r_{x}$ ). Pak, protože podobné budou i kružnice, bude náš hledaný poměr roven poměru ploch těch dvou trojúhelníků.
A teď už můžeme počítat.
Protože spodní (větší) kruřnice je vepsaná do trojúhelníku (je to tedy kružnice vepsaná) musí přímka z vrcholu trojúhelníku procházející jejím středem půlit úhel u daného vrcholu.
A tedy
$\text{tg}\alpha =\frac{v}{r}$
$\text{tg}\frac{\alpha}{2} =\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=$
$=\frac{1-\frac{r}{s}}{\frac{v}{s}}=\frac{s-r}{v}=\frac{r_{1}}{r}$ kde $s=\sqrt{r^{2}+v^{2}}$
a také $\frac{s-r}{v}=\frac{r_{1}}{r}\Rightarrow r_{1}=\frac{r}{v}(s-r)$
Dále z podobnosti trojúhelníků plyne:
$\frac{r_{x}}{r}=\frac{v-2r_{1}}{r}\Rightarrow r_{x}=\frac{r}{v}(v-2r_{1})$
$S_{1}=r\cdot v,S_{2}=r_{x}(v-2r_{1})$
$p=\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{r_{x}(v-2r_{1})}{r\cdot v}=\left( \frac{v-2r_{1}}{v}\right)^{2}=$
$=\left( 1-\frac{2r(s-r)}{v^{2}}\right)^{2}=\left( 1-\frac{2r(\sqrt{r^{2}+v^{2}}-r)}{v^{2}}\right)^{2}=\left( 1-\frac{2r}{r+\sqrt{r^{2}+v^{2}}}\right)^{2}$
a také $p=\left(\frac{s-r}{s+r}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{r^{2}+v^{2}}-r}{\sqrt{r^{2}+v^{2}}+r}\right)^{2}$

Např. pro $r=1,v=\sqrt{3}$ (což je rovnostranný kužel) dostaneme:
$p=\left( 1-\frac{2(\sqrt{1+3}-1)}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$
a pro $r=1,v=\sqrt{8}$ (což je kužel jehož površka je dlouhá 3)
$p=\left( 1-\frac{2(\sqrt{1+8}-1)}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}$

Po editaci:
Existuje i jedno elegantnější řešení výpočtu $r_{1}$ :
Pro obsah trojúhelníku(obecného platí: $S=\varrho \cdot s_{1}$ kde $\varrho$ je polomě kružnice vepsané a $s_{1}$ je polovina obvodu trojúhelníku
Pro nás
$S=r_{1}\cdot (s+r)=r\cdot v\Rightarrow r_{1}=\frac{r\cdot v}{s+r}$

gadgetka

Za scestné řešení se omlouvám, nejspíš to bude tím, že mi prostě chybí prostorové vidění. Je divné, že početně mi výsledek seděl... zřejmě jsem si dosadila nereálné hodnoty.

Edit: Jedno pozitivum ale to mé řešení mělo. Příkladu si všiml někdo, kdo tomu opravdu rozumí, a pomohl ti... ;)

Honzc · 26. 03. 2014 14:35

↑ gadgetka:
Zdravím,
zase tak úplně špatný ten tvůj výpočet nebyl, pouze to chtělo vyměnit $v$ za $s$

gadgetka · 26. 03. 2014 16:35

Děkuji, to mě těší... ;)

Tom711 · 26. 03. 2014 20:10

Ďakujem moc za čas ktorý ste tomu venovali!

PS: Toto fórum je fakt super! :D

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2014 17:34 — Editoval Tom711 (25. 03. 2014 17:35)

Pomer obsahov gúl v kuželi

#2 25. 03. 2014 21:12

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#3 25. 03. 2014 21:21

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#4 25. 03. 2014 21:23

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#5 25. 03. 2014 22:05

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#6 25. 03. 2014 23:15 — Editoval gadgetka (26. 03. 2014 10:56)

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#7 25. 03. 2014 23:45 — Editoval gadgetka (25. 03. 2014 23:47)

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

Tom711 napsal(a):

#8 26. 03. 2014 06:04

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#9 26. 03. 2014 09:40 — Editoval Honzc (26. 03. 2014 14:57)

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#10 26. 03. 2014 10:55 — Editoval gadgetka (26. 03. 2014 10:56)

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#11 26. 03. 2014 14:35

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#12 26. 03. 2014 16:35

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

#13 26. 03. 2014 20:10

Re: Pomer obsahov gúl v kuželi

Zápatí