Matematické Fórum

Makakpo

Zdravim, chcem sa len opytat azda mam spravnu definiciu spojitej funckie.
Funkcia je spojita ak a iba ak http://imgupload.sk/viewer.php?file=3zv … 1zldfi.png

Na wikipedii som nasiel podobnu ale mam pocit ze nie uplne rovnaku tak sa chcem opytat odbornikov, pre istotu aby som potom vedel na co sa pri dokaze mozem opriet. Dakujem

Honzc · 26. 03. 2014 15:08

↑ Makakpo:
Vypadá to dobře.

Rumburak · 26. 03. 2014 15:45

↑ Makakpo:

Ahoj.

To, co jsi tam napsal, je - přesně vzato - definice výroku

(1) "funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ " ,

pakliže jde o funkci reálné proměnné, při čemž na oboru jejích hodnot je definována reálná funkce $\varrho(u, v) = |u-v|$ ,
která je metrikou. Výrok (1) lze definovat i dalšími ekvivalentími formulemi.

Vedle této "lokální" spojitosti (= spojitosti v bodě) ještě existuje "globální" pohled na spojitost:

DEFINICE:
Funkce $f$ je spojitá na množině $M$ (která je částí definičního oboru této funkce), právě když je spojitá v každém bodě množiny $M$ .

Makakpo · 26. 03. 2014 16:31

Dokazte ze f(x) = odmocnina z ( x^2 - 5)

tak ok a mozem poprosit o pomoc s prikladom? http://imgupload.sk/viewer.php?file=0ui … pfayyn.png

Zatial som odvodil iba ten vztah pre Epsilon ale neviem ci je to spravne a co dalej robit vlastne? Nie som si isty ako to dokazat. Nejaky navod?

Rumburak · 26. 03. 2014 17:36

↑ Makakpo:

Podle toho odkazu se tedy snažíš dokázat, že funkce $f(x) = \sqrt{x^2 - 5}$ je spojitá v bodě $x = 8$ .

Postupujeme tak, abychom ověřili, že definice spojitosti funkce v bodě je zde naplněna. Tedy:

Zvolíme abstraktní $\varepsilon > 0$ a k němu se snažíme nalézt $\delta > 0$ takové, aby pro livovolné $x \in (8-\delta, 8+\delta)$
platilo

(a) $f(x) \in (f(8)-\varepsilon, f(8)+\varepsilon)$ .

Technika důkazu je takováto:
Výrok (a) zapíšeme jako složenou nerovnici

$f(8)-\varepsilon < f(x) < f(8)+\varepsilon$ ,
$\sqrt{59}-\varepsilon < \sqrt{x^2 - 5} < \sqrt{59}+\varepsilon$

a snažíme se určit množinu $M_{\varepsilon}$ všech její řešení $x$ v závislosti na parametru $\varepsilon$ . Bude-li každá z těchto množin
$M_{\varepsilon} , \varepsilon > 0$ obsahovat nějaký otevřený interval $J_{\varepsilon}$ (obecně závislý na volbě $\varepsilon$ ) splňující $8 \in J_{\varepsilon}$ ,
potom bude zřejmá i existence hledaného čísla $\delta > 0$ .