Matematické Fórum

Mr.Sammet · 27. 03. 2014 18:15

Zdravíčko. Měl bych na vás takovou prosbu ohledně vektorových prostorů. Úkol zní:

Rozhodněte, zda množina všech čtvercových matic řádu n (tedy matice n x n) s operací sčítání matic a násobení matice číslem je vektorový prostor.

Jaký bude prosím postup? Vím, že mám ověřit těch 8 podmínek jako je komutativnost, asociativnost apod. Dělali jsme příklad, kde jsme měli určit, zda-li tvoří vektorový prostor matice 2. stupně, čili (2x2) s operací součtu a násobení. Tam jsme postupně ověřili všech 8 podmínek tak, že jsme si dosadili do matic písmena

| a b | + | e f | = | e f | + | a b |
| c d | | g h | | g h | | c d |

atd... ale jak to provést v případě, že mám určit pro "všechny" čtvercové matice?

Děkuji :-)

vanok · 27. 03. 2014 18:31 — Editoval vanok (27. 03. 2014 18:32)

Ahoj ↑ Mr.Sammet:,
To overovanie je skutocne zdlhave, ale velmi podobne z tym ako v maticiach typu (2,2).
Na zapis dokazu, mozes vyuzit, ze matica v tomto pripade sa chova ako $n^2$ - tica, v ktorej sa scitaju prislusne zlozky
( pre matice (2,2) islo vlastne o 4- ice)

Vdaka takej poznamke, mozes urobit zapisy typu
$(a_1, a_2,...., a_{n^2})$
A tak vdaka tym bodkam sa mozes vyhnut vsetko pisat ( co je podobne).
Tak vela trpezlivosti z tym.

Mr.Sammet · 27. 03. 2014 18:51

↑ vanok:

Děkuji mockrát :-) Ale teď si nejsem zcela jistý, jestli jsem to dobře pochopil.

Čili bych mohl napsat něco na tento způsob?

$|a_1, a_2,...., a_{n^2} b_1, b_2,...., b_{n^2}|$ + $|e_1, e_2,...., e_{n^2} f_1, f_2,...., f_{n^2} |$ = ....
$|c_1, c_2,...., c_{n^2} d_1, d_2,...., d_{n^2}|$ $| g_1, g_2,...., g_{n^2} h_1, h_2,...., h_{n^2}|$

... protože jinak absolutně netuším, jak na to :-/ Jsem z toho úplně v pasti :-D