Matematické Fórum

Secren · 30. 03. 2014 12:42 — Editoval Secren (30. 03. 2014 12:44)

Zdravím,
mám úlohu, kde si nie som istý správnym riešením.

zadanie: Vypočítajte aspoň jednu ďalšiu stranu trojuholníka ABC ak $t_{a}=6cm$ $t_{b}=9cm$ a $c=6cm$ . Pri akých hodnotách by úloha nemala riešenie?

S využitím kosínusovej vety mi vyšlo $a\doteq 6 cm$ a $b\doteq 0,7 cm$ . Ale nie som si tým istý, mohli by ste to niekto skontrolovať? Poprípade poradiť ako to najlepšie riešiť. Ďakujem.

Jj · 30. 03. 2014 12:59

↑ Secren:

Dobrý den, očividně je ve výpočtu chyba (těžnice na b by "trčela" z trojúhelníku ven). Těžko hádat kde, když neuvádíte řešení.

byk7 · 30. 03. 2014 13:19

Pomocí kosinové věty se dají odvodit vzorce pro těžnice
$t_a&=\tfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} \\ t_b&=\tfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2} \\ t_c&=\tfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Z prvních dvou rovnic plynou vztahy
$(1)\qquad 4t_a^2&=2b^2+2c^2-a^2 \\ (2)\qquad 4t_b^2&=2c^2+2a^2-b^2$

Odečtením druhé rovnice od první dostaneme
$4$t_a^2-t_b^2$=3$b^2-a^2$$

tedy
$(3)\qquad b^2&=\tfrac{4}{3}$t_a^2-t_b^2$+a^2 \\ (4)\qquad a^2&=b^2-\tfrac{4}{3}$t_a^2-t_b^2$$

dosazením (3) do (2) a (4) do (1) dostaneme
$4t_a^2=b^2+2c^2+\tfrac{4}{3}$t_a^2-t_b^2$&\quad\Rightarrow\quad b=\sqrt{\tfrac{4}{3}$2t_a^2+t_b^2$-2c^2} \\ 4t_b^2=2c^2+a^2+\tfrac{4}{3}$t_a^2-t_b^2$&\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{\tfrac{4}{3}$2t_b^2+t_a^2$-2c^2}$

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2014 12:42 — Editoval Secren (30. 03. 2014 12:44)

Riešenie trojuholníka ak poznáme 2 ťažnice a jednu stranu

#2 30. 03. 2014 12:59

Re: Riešenie trojuholníka ak poznáme 2 ťažnice a jednu stranu

#3 30. 03. 2014 13:19

Re: Riešenie trojuholníka ak poznáme 2 ťažnice a jednu stranu

Zápatí