Matematické Fórum

Lukáš Ba-mat-fyz · 30. 03. 2014 21:35

Zdravím,

Chcel by som sa Vás opýtať iba či riešim správne výpočet sumy a ak áno na základe čoho je možný tam ten prechod sumy a derivovania. Príklad sa týka formuly pre priemerný počet zákazníkov v systeme (M/M/1/ $\infty$ )

$\kappa=\sum_{k=0}^{\infty}k p_{k}=\sum_{k=0}^{\infty}k \varrho^k (1-\varrho)=(1-\varrho) \sum_{k=0}^{\infty}k \varrho^k$

To bolo len dosadenie a teraz ide to, co som si nie moc istý

$\sum_{k=0}^{\infty}k\varrho^k =\varrho \sum_{k=0}^{\infty}k\varrho^{k-1}=\varrho\sum_{k=0}^{\infty}(\varrho^k)^{'}=\varrho \bigg(\sum_{k=0}^{\infty}k\varrho^k\bigg)^{'}=\varrho\bigg(\frac{1}{1-\varrho}\bigg)^{'}=\frac{\varrho}{(1-\varrho)^2}$

a potom už len dosadenie a koncový výsledok $\kappa=\frac{\varrho}{1-\varrho}$

Ďakujem veľmi pekne. Ak ten prechod je možný na základe nejakej teorie z toho systému, tak pokukám ak mi trošku poradíte čo to také môže byť.

Jj · 30. 03. 2014 22:57

↑ Lukáš Ba-mat-fyz:

Dobrý večer.

Nejde o využití teorie SHO, ale teorie mocninných řad. Tyto lze v oboru jejich konvergence integrovat (derivovat) člen po členu.

V uvedeném případě po integraci člen po členu je možno řadu jednoduše sečíst a derivace součtu integrované řady dá součet původní řady.

Lukáš Ba-mat-fyz · 30. 03. 2014 23:03

↑ Jj:

ďakujem pekne:)Vedel som,že mi niečo ušlo,takto je to super:)

Creatives

Ahoj,
stačí místo všech těch kroků, hned v prvním použít vzoreček pro výpočet součtu geometrické řady. Ihned vyjde výsledek, nebo dosadit za $p_{k}$ $(\frac{\lambda }{\mu })^{k}$ a výjde $\frac{\lambda }{\lambda -\mu }$

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2014 21:35

Jenom Suma

#2 30. 03. 2014 22:57

Re: Jenom Suma

#3 30. 03. 2014 23:03

Re: Jenom Suma

#4 31. 03. 2014 09:45 — Editoval Creatives (31. 03. 2014 09:46)

Re: Jenom Suma

Zápatí