Matematické Fórum

Kristina93N · 30. 03. 2014 16:05

Ahoj, potřebuji poradit s těmito příklady:

$\lim_{x\to\infty } \frac{(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^2}dt)^2}{\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{2x^2}dx}$
$\frac{d}{dx}\int_{sinx}^{cosx}cos(\Pi t^2) dt$
$\lim_{x\to0+}\frac{\int_{0}^{sinx}\sqrt{\text{tg}t }dt}{\int_{0}^{\text{tg}x}\sqrt{\sin t}dt}$

První má vyjít 0, druhý (sinx-cosx)cos(pi sin^2x) a třetí 1.

Jj · 30. 03. 2014 17:28

↑ Kristina93N:

Řekl bych, že první příklad je typu $\frac{\infty}{\infty}$ , takže L'Hospital.

$\lim_{x\to\infty } \frac{(\int_{0}^{x}e^{t^2}dt)^2}{\int_{0}^{x}e^{2t^2}dt}=\lim_{x\to\infty } \frac{2(\int_{0}^{x}e^{t^2}dt)\cdot e^{x^2}}{e^{2x^2}}=\cdots$

Po zkrácení další L'Hospital a mělo by to vyjít.

Poznámka: V jednom tématu má být podle pravidel fóra jen jedna úloha.

Kristina93N · 30. 03. 2014 20:14

Díky, ten první už jsem vyřešila a pochopila :)
Omlouvám se za ty tři příklady

Jj · 30. 03. 2014 22:03

↑ Kristina93N:

U druhého využít derivaci složené funkce.

$\frac{d}{dx}\int_{sinx}^{cosx}cos(\pi t^2) dt=\frac{d}{dx} (F(cosx) - F(sinx))$
kde F(x) je primitivní funkce k funkci cos(pi x^2) a bude:

$\frac{d}{dx}F(x) = cos(\pi x^2),\; \frac{d}{dx}F(cosx)= \frac{dF(cosx)}{d(cosx)}\cdot \frac{d(cosx)}{dx}=cos(\pi cos^2x)\cdot (-sinx)$

a analogicky pro F(sinx) + úprava výsledku na "(sinx-cosx)cos(pi sin^2x)" . To už dáte?

Kristina93N · 31. 03. 2014 09:59

Už to chápu! Díky

Jj · 31. 03. 2014 17:26

↑ Kristina93N:

Třetí asi taky L'Hospital (oba integrály --> 0) a derivace složené funkce
(F1(x), F2(x) = příslušné distribuční funkce):

$\lim_{x\to0+}\frac{\int_{0}^{sinx}\sqrt{tgt}dt}{\int_{0}^{tgx}\sqrt{\sin t}dt}=\lim_{x\to0+}\frac{(F_1(sinx)-F_1(0))'}{(F_2(tgx)-F_2(0))'}=\lim_{x\to0+}\frac{\sqrt{tg(sinx)}\cdot cosx}{\sqrt{sin(tgx)}\cdot cos^{-2}x}=$
$=\lim_{x\to0+}cos^3x\cdot \sqrt{\lim_{x\to0+}\frac{tg(sinx)}{sin(tgx)}}=\cdots$

V limitě pod odmocninou další L'Hospital a snad to vyjde.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2014 16:05

Integrál jako f-ce meze

#2 30. 03. 2014 17:28

Re: Integrál jako f-ce meze

#3 30. 03. 2014 20:14

Re: Integrál jako f-ce meze

#4 30. 03. 2014 22:03

Re: Integrál jako f-ce meze

#5 31. 03. 2014 09:59

Re: Integrál jako f-ce meze

#6 31. 03. 2014 17:26

Re: Integrál jako f-ce meze

Zápatí