Matematické Fórum

Makakpo

Zderivujte vyraz: $x \sqrt{1+x^2}$
Moj postup:

$\lim_{u\to0} \frac{(x+u)\sqrt{1+(x+u)^2}-x \sqrt{1+x^2}}{u}=\lim_{u\to0}\frac{4x^3u + 6x^2u^2 + 2xu + 2x^3 u + 4x u^3 + u^2 + u^4}{u[(x+u) \sqrt {1+(x+u)^2}+x \sqrt {1+x^2]}} =$

$\frac{6x^3 + 2x }{x(1+x^2)}= \frac{6x^2 + 2 }{(1+x^2)}$

Je to dobre?

Takjo · 01. 04. 2014 15:34

↑ Makakpo:
Dobrý den,
opravdu je nutné počítat tento příklad podle definice derivace?
Jednodušší je použít věty o derivaci součinu a složené funkce.

Makakpo · 01. 04. 2014 15:38

a to su ake vety? my sme sa to ucili zatial iba takto cez limitu ..

Takjo · 01. 04. 2014 15:47

↑ Makakpo:
Dobrý den,
derivace součinu: $(u\cdot v)^{'}=u^{'}\cdot v+u\cdot v^{'}$

Takže ve vašem příkladu: $(x \sqrt{1+x^2})^{'}=x^{'}\cdot \sqrt{1+x^2}+x\cdot (\sqrt{1+x^2})^{'}=$ atd.

Makakpo

tak podla tohto vztahu som to vypocital a vyslo mi to $\sqrt{1+x^2} +\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ co sa mi pozdava akosi viac. A inac existuju este nejake vztahy pre pohodlnejsie pocitanie s derivaciami? Tento sucin si zapametam ale napr. pri $\frac{1+2x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ sa nic podobne pouzit neda, alebo ano?

Takjo · 01. 04. 2014 16:07

↑ Makakpo:
Dobrý den,
ještě jste zapomněl derivovat složenou funkci (výraz pod odmocninou) a místo součtu máte součin, takže:

$\sqrt{1+x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

Takjo · 01. 04. 2014 16:15

↑ Makakpo:
Dobrý den,
pro váš příklad $\frac{1+2x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ použijete větu o derivaci podílu: $(\frac{u}{v})^{'}=\frac{u'\cdot v-u\cdot v^{'}}{v^{2}}$ a opět větu o derivaci složené funkce.

Makakpo · 01. 04. 2014 18:08

a je nejaky web alebo nieco kde su vsetky tie vety pokope prosim vas?

vanok · 01. 04. 2014 21:36

Pozri napr sem
http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_rules

Ale sa da najst aj viac!

Makakpo

takze platia nasledujuce vztahy pre sucet, rozdiel, podiel a sucin funkcii $f,g$ ??? (samozrejme za predpokladu ze $v$ je nenulove.)
$(u\cdot v)^{'}=u^{'}\cdot v+u\cdot v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'}=\frac{u'\cdot v-u\cdot v^{'}}{v^{2}}$
$(f+g)^{'}=f^{'}+g^{'}$
$(f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}$