Matematické Fórum

nikyyy · 16. 02. 2013 15:50

Ahoj!
Mám problém s touto úlohou :

Planeta Merkur je v perihéliu vzdálena od Slunce 0,308 AU, v aféliu 0,466 AU.
Vypočtěte oběžnou dobu Merkura.

Předem díky za pomoc a ochotu! :)

Kobleezchek

↑ nikyyy:

zdraVím...

Zaprvé to máš ve špatné sekci.

Zadruhé vycházíme z třetího Keplerova zákona $\frac{T^{2}_{1}}{T^{2}_{2}}=\frac{a^{3}_{1}}{a^{3}_{2}}$ ... významy jednotlivých písmenek snad znáš, ale pro jistotu:

- $T_{1}$ = doba oběhu (pro nás nejlépe) Země kolem Slunce (tj. 1 rok)
- $a_{1}$ = střední vzdálenost (pro nás nejlépe) Země od Slunce (tj. 1 AU)
- $T_{2}$ = doba oběhu dané planety kolem Slunce
- $a_{2}$ = střední vzdálenost dané planety od Slunce

Z toho si vyjádříš $T_{2}$ a do něj dosadíš aritmetický průměr se zadaných vzdáleností. Výsledek je nutno vynásobit 365.25-krát, abys dostal počet dní.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

(Vyjde cca $88$ dnů.)

martisek · 16. 02. 2013 16:03

↑ nikyyy:
Třetí Keplerův zákon říká že poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je roven poměru třetích mocnin délek hlavních poloos jejich drah. Je třeba sečíst perihelium a afélium Merkura - to je 2a pro Merkur a porovnat ho nejlépe se Zemí, která má a = 1AU a T asi 365 dnů.

Wellcosh · 16. 02. 2013 16:03

Z perihelia a afelia spočteš hlavní poloosu a použiješ třetí Keplerův zákon.

martisek · 16. 02. 2013 16:05

↑ Kobleezchek:

A kde vezme T_1 a a_1 ? :-)

Kobleezchek

↑ martisek:

Viz mé vysvětlivky, za $T_{1}$ a $a_{1}$ můžeme dosadit 1, protože doba oběhu Země (kterou jsme si/jsem si zvolili) kolem Slunce je 1 rok a vzdálenost Země od Slunce je 1 AU. Pokud by mu Země nevoněla, tak ať si zvolí na porovnání jinou planetu.

Dzana · 01. 04. 2014 10:31

Halleyova kometa obíhá okolo Sl. po elipse. V periheliu se nachází ve vzdálenosti 0,03a od
středu Slunce, kde a je velikost hlavní poloosy. Polovinu dráhy blíže ke Slunci urazí kometa přibližně za 14,55 let. s těmito údaji vypočtěte oběžnou dobu Halleyovy komety a velikost hlavní poloosy a její oběžné dráhy. Pro obsah plochy ohraničené elipsou s hlavní poloosou a a vedlejší b platí S = (pí)ab.

pořád mi to nevychází, něco tam mám špatně, pomůže někdo? :-)

Rumburak

↑ Dzana:
Příště si založ vlastní téma.

Nepíšeš, jak jsi na to šla a kam až ses dostala.

H. kometu můžeme zde považovat za jednu z planet a aplikovat na ni K. zákony stejně jako na ostatní planety.

Důležité je uvědomit si, že Slunce se nachází v jednom z ohnisek její eliptické dráhy. Použil bych metod analytické geometrie.
Předpokládejme, že drahou komety je elipsa o rovnici

$$\frac{x}{a}$^2 + $\frac{y}{b}$^2 = 1$ ,

kde $a$ je hlavní poloosa, tj. $a > b > 0$ . Snadno se dají vyjádřit pomocí neznámých $a, b$ její dvě ohniska ležící
na ose $x$ , jedno z nich považujme za Slunce.
Prihelium je ten z bodů $[a, 0] , [-a, 0]$ , který leží blíže Slunci. Podmínka vyjadřující vztah mezi hlavní polosou dráhy
a vzdáleností perihelia od Slunce vede k důležité rovnici.

zdenek1 · 01. 04. 2014 17:02

↑ Dzana:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/63703_pic.png
Podle Keplerova zákona je plošná rychlost (plocha/ čas) průvodiče konstantní.
Označíme-li si $S_1=\frac{\pi ab}2-eb$ (vyšrafovaná plocha na obrázku) a $S_2=\frac{\pi ab}2+eb$ , tak bude platit
$\frac{S_1}{T_1}=\frac{S_2}{T_2}$ takže $T_2=T_1\frac{S_2}{S_1}$
Dále je vidět, že $e=a(1-k)$ . Dosazením
$T_2=T_1\frac{\frac{\pi ab}2+eb}{\frac{\pi ab}2-eb}=T_1\frac{\pi a+2e}{\pi a-2e}=T_1\frac{\pi+2(1-k)}{\pi-2(1-k)}$
Celková doba oběhu je pak
$T=T_1+T_2=T_1\left(1+\frac{\pi+2(1-k)}{\pi-2(1-k)}\right)=T_1\frac{2\pi}{\pi-2+2k}$

Nyní ze 3 KZ (jako referenční těleso si zvolíš Zemi) dosatneš
$T^2=a^3$
a všechno znáš.