Matematické Fórum

hans66 · 29. 03. 2014 22:46 — Editoval hans66 (29. 03. 2014 22:46)

Ahoj, prosim poradte mi jak dal postupovat:
Najdete lokalni extremy implicitne zadane funkce y(x), ktera je resenim rovnice
$F(x,y)=x^{2}+y^{2}-8x-4y+19=0$

Postup:
spoctu prvni derivace a polozim 0:
$f'x=2x-8$
$f'y=2y-4$
tyto dve rovnice položím nule a " $x=4$ " dosadim do zadane fce a vyjde mi $y_{1}=1$ a $y_{2}=3$ z toho mi vyjdou body podezrele z extremu:
$P_{1}[4,1]$
$P_{2}[4,3]$

spoctu druhe derivace:
$f''xx=2$
$f''yy=2$
$f''xy=f''yx=0$

jak mam dál postupovat?
$f''xx=D_{1}=2>0$ - nastavá lokalni minimum, ale jak to mam rozlisit pro tyto dva body?

děkuji

Stýv · 29. 03. 2014 23:16

máš v tom guláš. nepočítáš extrémy fce dvou proměnných, ale implicitně zadané fce jedné proměnné

hans66 · 30. 03. 2014 09:17

↑ Stýv: Děkuji za reakci, mohl by jste mi poradit jak tedy na to?

hans66 · 30. 03. 2014 11:35

Tak jsem neco snad vykoumal...
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/72091_lok.jpg

je to takto dobře?

Jj · 30. 03. 2014 11:51

↑ hans66:

Dobrý den,
jak jste spočítal druhou derivaci?

hans66 · 30. 03. 2014 12:04 — Editoval hans66 (30. 03. 2014 12:06)

↑ Jj: $y''=\frac{x''}{y'}$
nebo se to ma derivovat cele podle x jako podíl? tímto si nejsem jisty :-(

Jj · 30. 03. 2014 12:40

↑ hans66:

Tak takto nelze. Jako podíl, a ještě je třeba pamatovat na to, že y = f(x).

Ještě ukážu na tomtéž příkladě:

$x^2 - xy + y^2 - 2x + 4y =0$

Derivujeme rovnici podle x s tím, že y = f(x) (y derivujeme jako složenou funkci) a:
$2x - y - xy' + 2yy' - 2 + 4y' =0\; \Rightarrow y'=\frac{2x-y-2}{x-2y-4}$

Druhou derivaci buď jako derivaci podílu, nebo znovu derivovat celou rovnici:
$2 - y' - y' - xy'' + 2y'^2 + 2yy'' + 4y'' =0\; \Rightarrow y''=2\frac{1-y'+y'^2}{x-2y-4}$

hans66 · 01. 04. 2014 21:25

↑ Jj: Dobrý den, tak jsem se k tomu konecne dostal.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/80060_FCE21.jpg
tak snad uz by to mohlo byt dobre

jeste bych vas chtel poprosit o kontrolu tohoto prikladu, po dosazeni do $y''$ by mělo vyjít pro bod $P_{2}[-3;-3]$ vyjít $y''=\frac{1}{2}$ ale mě vychází $y''=12,5$ , děkuji za kontrolu

Jj · 02. 04. 2014 09:18

↑ hans66:

Druhý příklad - asi jen nějaké přehlédnutí, mi vychází y'' = 1/2.

hans66 · 02. 04. 2014 10:02

↑ Jj:

Asi jsem natvrdlej
$y''=\frac{4\cdot (-3)-2-4\cdot (-3)^{2}}{4\cdot (-3)+2-2\cdot (-3)}=\frac{-50}{4}=-12,5$ nemuzu si pomoc, ale furt mi to takto vychazi... :'

jeste bych se chtel zeptat zda se da druha dervace pocitat jako:
$y''=\frac{-(F''xx+2F''xy(y')+Fyy(y')^{2})}{\frac{\partial f}{\partial y}}=\frac{-F''xx}{F'y}$

Jj · 02. 04. 2014 10:30

hans66 napsal(a):
nemuzu si pomoc, ale furt mi to takto vychazi... :

y'(-3) = 0

jeste bych se chtel zeptat zda se da druha dervace pocitat jako:

Nedá.

hans66 · 02. 04. 2014 10:41

↑ Jj: Děkuji, špatně jsem dosazoval, už to vidím :-)

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2014 22:46 — Editoval hans66 (29. 03. 2014 22:46)

Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#2 29. 03. 2014 23:16

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#3 30. 03. 2014 09:17

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#4 30. 03. 2014 11:35

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#5 30. 03. 2014 11:51

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#6 30. 03. 2014 12:04 — Editoval hans66 (30. 03. 2014 12:06)

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#7 30. 03. 2014 12:40

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#8 01. 04. 2014 21:25

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#9 02. 04. 2014 09:18

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#10 02. 04. 2014 10:02

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

#11 02. 04. 2014 10:30

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

hans66 napsal(a):

#12 02. 04. 2014 10:41

Re: Lokální extrémy dvou proměnných-jak dál?

Zápatí