Matematické Fórum

Freedy · 11. 03. 2014 23:20

Že by to neplatilo ani pro iracionální čísla. Já vím že se nedaj zapsat pomocí zlomku ale tímhle kdybys zapisoval do nekonečna, tak se dostaneš na to číslo.

byk7 · 11. 03. 2014 23:30

↑ Freedy:
Ne, to teda nedostaneš, hodnotami $k/n$ budou pořád jen racionální čísla, ne iracionální. Proto
$f(x)=\prod_{k=-\infty}^{\infty }\prod_{n=0}^{\infty }\frac{x+\frac{k}{n}}{x+\frac{k}{n}}=\prod_{k=-\infty}^{\infty }\prod_{n=0}^{\infty }1=\prod_{k=-\infty}^{\infty }1=1$

Freedy · 12. 03. 2014 00:15

Ale to nebylo k určení součinu. To byl příklad funkce, která je nespojitá ve všech racionálních číslech. V iracionálních, no, hm, když prostě budeš do nekonečna dělit tak dostaneš i ta čísla iracionální.
Co kdyby se hypoteticky dalo číslo vyjádřit jen na určitej počet desetinných míst. Tak by si klidně i pi který je známo na nějakejch 6 miliard číslic, tak pořád můžeš těch 6 miliard vyjádřit zlomkem.

Ok nemá cenu spekulovat, prostě iracionální čísla nelze zapsat zlomkem, hotovo fajn

raikou243 · 21. 03. 2014 20:43

$\lim_{n\to\infty }$
$a\in \mathbb{Z}$
$z=(-2;2i)^{2}$
$\frac{\sin x}{n}$
$2\pi r$
$\pi r^{2}$
$A[-4;9]$

Jj · 26. 03. 2014 13:22

$\,{adflkja}$

Jj · 31. 03. 2014 21:13

$M=[4;3;10]$ $x = 1 + 2t$ $y = 2 + 4t$ $z = 3 + 5t$

S(-3+2t;-1 + 4t;-7+ 5t)(2;4;5) = 0 --> t = 1 --> (-1,3,-2)(2,4,5) = 0

MS = M + (-1,3,-2) * t

(M' + M)/2 = S --> M' = 2S-M = {-6, 3, -14}

byk7 · 01. 04. 2014 22:18 — Editoval byk7 (05. 04. 2014 14:40)

$\sum_{\substack{{1\le i<j\le2014}\\{i|j}}}a_i a_j=\sum_{i=1}^{1007}$a_i\sum_{j=2}^{\lfloor 2014/i\rfloor}a_{ij}$=a_1\left(1-a_1\right)+\sum_{\substack{{2\le i<j\le2014}\\{i|j}}}a_i a_j$

byk7 · 02. 04. 2014 12:40

$\emptyset\neq M\subsetneq\{1,2,\ldots,n\}$
$\left(\sum_{i\in M}x_i\right)^2\le\sum_{1\le i\le j\le n}\Bigg(\sum_{i\le k\le j}x_k\Bigg)^2$

Freedy · 09. 04. 2014 22:02

Obecné řešení rovnice ve tvaru:
$\sin z = k$ kde $k>1, z\in \mathbb{C}$
Přes eulerovu identitu která je:
$\mathrm{e}^{\text{ix}}=\cos +\text{i}\sin x$
Můžeme vyjádřit sinus jako:
$\sin z=\frac{\mathrm{e}^{\text{i}z}-\mathrm{e}^{-\text{i}z}}{2\text{i}}$
Označme si:
$z = a+bi$
poté:
$\sin z=\frac{\mathrm{e}^{\text{i}(a+b\text{i})}-\mathrm{e}^{-\text{i}(a+b\text{i})}}{2\text{i}}$
$\sin z=\frac{\mathrm{e}^{-b+a\text{i}}-\mathrm{e}^{b-a\text{i}}}{2\text{i}}$
$\sin z=\frac{\mathrm{e}^{-b}(\cos a+\text{i}\sin a)-\mathrm{e}^{b}(\cos a-\text{i}\sin a)}{2\text{i}}$
$\sin z=\frac{\cos a(\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b})+\text{i}\sin (\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b})}{2\text{i}}$
Rozšíření zlomku imaginární jednotkou:
$\sin z=\frac{\text{i}\cos a(\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{-b})+\sin (\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b})}{2}$
Nyní máme dvě části, imaginární a reálnou.
$\frac{\sin a (\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b})}{2}=k$
$\frac{\text{i}\cos a(\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{-b})}{2}=0$
Reálná část se rovná a, imaginární se rovná nule.
Imaginární se bude rovnat nule pouze když b = 0, čili by imaginární část komplexního čísla a byla nula, tudíž pro žádné reálné číslo neplatí, že sin(a) = k kde k > 0
Imaginární část bude rovna nule ještě když:
$b=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ ---> když je b = pi/2, potom sinus b = 1
Proto potom první rovnice přejde do tvaru:
$\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b}=2k$
$1+\mathrm{e}^{2b}=2k\mathrm{e}^{b}$
$\mathrm{e}^{2b}-2k\mathrm{e}^{b}+1=0$
Substitucí řešíme kvadratickou rovnici:
$\mathrm{e}^{b}=q$
$q^2-2kq+1=0$
$q_{1,2}=\frac{2k\pm \sqrt{4k^2-4}}{2}=k\pm \sqrt{k^2-1}$
Zpátky k substituci:
$\mathrm{e}^{b}=k\pm \sqrt{k^2-1}$
$b_{1,2}=\ln (k\pm \sqrt{k^2-1})$
Po malé úpravě ještě lze objevit tento zajímavý fakt:
$\ln (k-\sqrt{k^2-1})=-\ln \frac{1}{k-\sqrt{k^2 -1}}\cdot\frac{k+\sqrt{k^2-1}}{k+\sqrt{k^2-1}}=-\ln (k+\sqrt{k^2-1})$
Proto:
$b_{1,2}=\pm \ln (k+\sqrt{k^2-1})$
reálnou část a jsme zjistili již dávno:
$a=\frac{\pi }{2}$

Obecné řešení rovnice ve tvaru:
$\sin z=k,k>1,z\in \mathbb{C}$
je:
$z=\frac{\pi }{2}\pm \text{i}\ln (k+\sqrt{k^2-1})+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$

byk7 · 15. 04. 2014 11:47

Jak v LaTeXu zapsat šipku, která je použita v Kapitolách z diskrétní matematiky, pro znační bijektivního zobrazení?
Mělo by to být složení $\twoheadrightarrow$ a $\hookrightarrow$ .

(Mimochodem, která z těch dvou šipek značí injektivní a která surjektivní zobrazení?)

vanok · 16. 04. 2014 03:25 — Editoval vanok (16. 04. 2014 03:33)

Ahoj ↑ byk7:
napr $\xrightarrow{\rm 1:1}$
a mozno aj
$\xrightarrow{\rm --}$

alebo
$\xrightarrow{\rm -\quad-}$

vanok · 16. 04. 2014 03:27

$\hookrightarrow$ injektivna
$\twoheadrightarrow$ surjektivna

bonifax · 20. 04. 2014 14:48

14.množina všech reálných čísel, pro která platí $-2\leq\log_3|x|<2$ je rovna množině:

Anonymystik · 10. 05. 2014 22:25

$L(v \otimes w) = w(L(v)), v z V a w z V^$

jelena · 10. 05. 2014 23:25

↑ Anonymystik:

Zdravím, co jsi chtěl napsat? Děkuji.

L(v \otimes w) = w(L(v)), v z V a w z V^

vanok · 12. 05. 2014 13:52

Poznamka
Casto som pisal normu vectoru a takto: $||\vec a||$ :||\vec a||
No vsak je aj tato lepsia moznost $\Vert \vec a \Vert$ :\Vert \vec a \Vert

Marian · 15. 05. 2014 14:07

↑ vanok:

Porovnejte ještě tyto dvě možnosti:

$\|\vec{v}\|$ vs. $||\vec{v}||$ .

Code:

\|\vec{v}\|

||\vec{v}||

První volba vypadá rozumněji (podle mého).

Andrejka3 · 18. 05. 2014 11:39

Jak nejlíp značit faktorizaci? $A/E$ nevypadá hezky.

byk7 · 25. 05. 2014 22:30

$M=A\frac{\qquad}{\qquad}\hspace{-0.55cm}\bullet\hspace{0.25cm}B$

bonifax · 26. 05. 2014 10:17

Posloupnost je dána rekurentním vztahem $a_{n+1}=a_n-\frac{1}{2}a_{n-1},a_4=6,a_5=2$ Určete osmý člen posloupnosti.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$a_5=a_4-\frac{1}{2}a_3$
$2=6-\frac{1}{2}a_3$
$a_3=8$

$a_6=a_5-\frac{1}{2}a_4=2-\frac{1}{2}*6=-1$
$a_7=a_6-\frac{1}{2}a_5=-1-\frac{1}{2}*2=-2$
$a_8=a_7-\frac{1}{2}a_6=-2-\frac{1}{2}*(-1)=-\frac{3}{2}$

Správná odpověď: C)

byk7 · 04. 06. 2014 00:08

$A=\[a_1,b_1,c_1\],B=\[a_2,b_2,c_2\]$
$|AB|=\sqrt{$a_1-a_2$^2+$b_1-b_2$^2+$c_1-c_2$^2}$

bonifax

$|2x-1|<2$
a)
$|2(x-\frac{1}{2})|<2$
$|x-\frac{1}{2}|<1$
$x\in (-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

b)
$2x-1\ge 0 \wedge 2x-1<2$
$x\ge \frac{1}{2} \wedge x<\frac{3}{2}$
$K_1=<\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

$2x-1<0\wedge -2x+1<2$
$x<\frac{1}{2}\wedge x>-\frac{1}{2}$
$K_2=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

$K=(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

Množina všech reálných čísel, pro která platí je rovna množině:

$|x-2|>0 => x\in (-\infty ,2)\cup (2,\infty )$

$|x-2|<2 => x\in (0,4)$

$x\in (0,2)\cup (2,4)$

Pro které hodnoty reálného parametru a má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny.

$a\not = -6$
$D=64-4(a^2+6a)$
$64-4a^2-24a>0$
$4a^2+24a-64<0$
$a^2+6a-16<0$

$a\in (-8,2)$
$K=(-8,-6)\cup (-6,2)$

byk7 · 10. 07. 2014 19:37

Zvolme si přirozená čísla $a<b$ a položme $a_0:=a,a_1:=b$ .
Pro každé přirozené $k$ označme
$S(k):=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^k a_i$ .
Pro $j>1$ volme
$a_j>\max\{S(j-1),a_{j-1}\}$ .
Pak pro každé $n$ platí
$a_n>\max\{S(n-1),a_{n-1}\}\ge S(n-1)=\frac{a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}$
takže
$(n-1)a_n&>a_0+a_1+\cdots+a_{n-1} \\ n a_n&>a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}+a_n \\ a_n&>\frac{a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}+a_n}{n}$