Matematické Fórum

Nejezchlebicek · 02. 04. 2014 20:27

Ahoj, nevím si rady s tímto příkladem, nemůže mi někdo pomoct? Díky

Nechť f(x) = $x^{2}$ + bx + c. Určete hodnoty koeficientů b, c tak,
aby funkce f měla v bodě x = 3 tečnu y = 2x − 2.

Freedy · 02. 04. 2014 20:52

Ahoj, je to pouze obrácený postup. Ty znáš tečnu ale neznáš koeficienty.
Funkce:
$f(x)=x^2+bx+c$
Má derivaci:
$f'(x)=2x+b$
Rovnice tečny v bodě $T[x_0;y_0]$ ke grafu funkce f(x) je:
$y-y_0=f'(x)(x-x_0)$
Ty znáš bod dotyku: x = 3 ale neznáš ypsilon
$y-y_0=(2x_0+b)(x-x_0)$
Dosadíme bod x = 3
$y-y_0=(6+b)(x-3)$
$y-y_0=6x-18+bx-3b$
Po úpravě dostáváme:
$y=(6+b)x-(18+3b-y_0)$

Daná tečna má mít předpis:
y = 2x - 2
___________
Z toho vyplývá že:
$6+b=2$
$18+3b-y_0=2$
Z první rovnice je vidět že b = -4
dosazením do druhé rovnice získáme bod dotyku:
$18+3(-4) - y_0=2$
$y_0=4$

Bod dotyku je tedy:
$T[3;4]$ a b = -4

$y = x^2-4x+c$
nyní stačí jen zjistit c, to dopočítáme tak, že dosadíme bod dotyku a dopočítáme c:
$4=9-12+c$
$7=c$

Funkce $f(x) =x^2-4x+7$ má v bodě $T[3;4]$ tečnu o rovnici $y=2x-2$

Jj · 02. 04. 2014 21:09 — Editoval Jj (02. 04. 2014 21:10)

↑ Nejezchlebicek:

$f(x)=x^2+bx+c$

Dobrý večer. Řekl bych, že to půjde i jednodušeji. Podle zadání zřejmě platí vztahy:

$f'(3) = 2,\; f(3)=4 \Rightarrow 2\cdot 3 + b = 2, 9 + 3b + c = 4 \Rightarrow b = -4, c = 7$

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2014 20:27

Zadaná tečna k funkci a bod dotyku, určení funkce

#2 02. 04. 2014 20:52

Re: Zadaná tečna k funkci a bod dotyku, určení funkce

#3 02. 04. 2014 21:09 — Editoval Jj (02. 04. 2014 21:10)

Re: Zadaná tečna k funkci a bod dotyku, určení funkce

Zápatí