Matematické Fórum

xdobia09 · 02. 04. 2014 19:28

Je-li $sin x = 0,6$ , kde $x \varepsilon (\frac{\pi }{2},\pi )$ pak $sin2x=?$

Nevím si rady s tímto příkladem 0,6 není v základní tabulce goniom hodnot co si dokážu s hlavy nakreslit a odvodit a nechápu jak aplikovat ten zadaný interval. Nějak by se potřeboval odpíchnout od začátku. Děkuji za pomoc

Freedy · 02. 04. 2014 20:37 — Editoval Freedy (02. 04. 2014 20:40)

Ahoj, stačí jen vyjádřit sinus 2x pomocí té hodnot,y kterou máš.

Nejjednodušší asi bude:
$\sin 2x=2\sin x\cos x$
$\sin^22x=4\sin^2 x(1-\sin ^2x)$
$\sin^22x=4\sin^2 x-4\sin ^4x$
$\sin^22x=4(0,6)^2-4(0,6)^4$
$\sin^22x=4(\frac{3}{5})^2-4(\frac{3}{5})^4$
$\sin^22x=\frac{36}{25}-\frac{324}{625}$
$\sin^22x=\frac{900}{625}-\frac{324}{625}$
$\sin^22x=\frac{576}{625}$
$\sin2x=\sqrt{\frac{576}{625}}$
$\sin2x=\frac{24}{25}$

jelikož je ale v počáteční podmínce:
$x\in (\frac{\pi }{2};\pi )$
potom dvojnásobný úhel bude jistě někde v 4 kvadrantu, kde je sinus záporný. Tudíž:
$\sin 2x=-\frac{24}{25}$

xdobia09 · 02. 04. 2014 20:41

Zapoměl jsem doplnit výsledek a ten je -0,96 tedy nějak nám tam lítá znaménko, mýlím se?

xdobia09 · 02. 04. 2014 20:42

To již sedí, přijde mi to poměrně složité řešení, zkusím do něj proniknout a pochopit ho. Děkuji za pomoc!

Honzc · 03. 04. 2014 07:51 — Editoval Honzc (03. 04. 2014 07:56)

↑ xdobia09:
Jednodušší výpočet:
$\sin 2x=2\sin x\cos x=\pm 2\sin x\sqrt{1-\sin^{2}x}$
protože víme, že $x \in(\frac{\pi }{2},\pi )$ , (tj. druhý kvadrant) pak v tomto kvadrantu je kosinus záporný a tedy
$\sin 2x=-2\sin x\sqrt{1-\sin^{2}x}$
Po dosazení dostaneme $\sin 2x=-2\cdot 0.6\sqrt{1-0.6^{2}}=-2\cdot 0.6\cdot 0.8=-0.96$

Cheop · 03. 04. 2014 08:16 — Editoval Cheop (03. 04. 2014 08:16)

↑ xdobia09:
$\sin\,x=0,6=\frac 35$
$\cos\,x=\sqrt{1-\sin^2x}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\\cos\,x=\pm\frac 45$
Protože je to II. kvadrant pak:
$\cos\,x=-\frac 45$
$\sin\,2x=2\sin\,x\cdot\cos\,x\\\sin\,2x=-2\cdot\frac 35\cdot\frac 45=-\frac{24}{25}$

xdobia09 · 03. 04. 2014 10:10

Díky moc všem, hodně jsem toho pochopil, snažím se to teď aplikovat na další příklady a mám tu problém s příkladem:
$cosx=0,1$
$x\varepsilon \langle 3\pi /2,2\pi \rangle$ (tz. cos kladný?)
$Sinx=?$
----
postup:
$Sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}$
$Sinx=\sqrt{1-0,1^{2}}$
$Sinx=\sqrt{0,9}$
$Sinx=0,3$

výsledek: $-0,3\sqrt{11}$

Co dělám špatně?

gadgetka · 03. 04. 2014 10:35

Ahoj, chybu vidím v numerickém výpočtu a v následném odmocnění: $1-0,1^2=0,99$

xdobia09 · 03. 04. 2014 10:42

Chybka se vloudila. Hloupí dotaz ale jak z $\sqrt{0,99}$ udělám $-0,3\sqrt{11}$ ??

Cheop · 03. 04. 2014 10:53

↑ xdobia09:
$\sqrt{0,99}=\sqrt{\frac{99}{100}}=\sqrt{\frac{9\cdot 11}{100}}=\frac{3}{10}\sqrt{11}=0,3\sqrt{11}$

xdobia09

Děkuji. Ještě si potřebuju udělat jasno v té počáteční podmínce. Mám tu příklad:
$sinx= \frac{3}{5}$ , x náleží do 2hého kvadrantu
$Cos 2x=?$
----
$Cos 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$

Počítám cos:
$cos^{2}x=1-sin^{2}x$
$cos^{2}x=1-\frac{9}{25}$
$cos^{2}x=\frac{16}{25}$
Cos je ve 2. kvadrantu záporný tudíž je to $-\frac{16}{25}$ správně?

Nic méně pokud pak dosadím do základního vztahu pro dopočítání cos2x tak to nevyjde právě proto, že je cos záporné.

Co dělám v té počáteční podmínce špatně?

Cheop · 03. 04. 2014 11:22

↑ xdobia09:
Ne
$\cos\,x=-\frac 45\,\Rightarrow\\\cos^2x=\left(-\frac 45\right)^2=\frac {16}{25}$
$\cos\,2x=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$

xdobia09 · 03. 04. 2014 11:41

Nelze dosadit rovnou za $cos^{2}x$ ??
Tz. tu počáteční podmínku používám jen když odmocňuji a výsledek je +- a podmínka mi určí jaké znaménko bude mít?

Cheop · 03. 04. 2014 11:49 — Editoval Cheop (03. 04. 2014 11:50)

↑ xdobia09:
Pro kosinus dvojnásobného argumentu platí:
$\cos\,2x=\cos^2x-\sin^2x$ a protože platí, že:
jakékoliv číslo umocněno na druhou je číslo kladné potom i (-4/5)^2= + 16/25

xdobia09 · 03. 04. 2014 11:58

Tomu rozumím, netřeba dále vysvětlovat. Nerozumím tomu kdy aplikuji počáteční podmínku.
Takt je to správně: ???
$cos^{2}x=\frac{16}{25}/\sqrt{}$ (odmocňuji celou rovnici)
$cosx=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}$

a počáteční podmínka mi určuje jaké znaménko to bude. Je tak? Nebo tomu stále nerozumím.

Cheop · 03. 04. 2014 12:05 — Editoval Cheop (03. 04. 2014 12:06)

↑ xdobia09:
Pro určení hodnoty cos(2x) =cos^2(x)-sin^2(x)je ta podmínka zbytečná, protože oba údaje (cos i sin) jsou ve druhé mocnině
Pro určení hodnoty sin(2x) =2sin(x).cos(x) už podmínka potřebná je, protože sin i cos jsou v první mocnině

PS: Už nevím jak bych Ti to jinak vysvětlil.

xdobia09 · 03. 04. 2014 12:08

Tomu rozumím, mě jde ale o princip abych věděl jak to aplikovat na další příklady. Chápu že zde znamínko bude vždy kladné kvůli druhé mocnině. Ale tak jak jsem to psal s tou odmocninou je to správně?
$cos^{2}x=\frac{16}{25}/\sqrt{}$ (odmocňuji celou rovnici)
$cosx=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}$

Honzc · 03. 04. 2014 13:17

↑ xdobia09:
$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$ - vždy pouze kladné číslo.
Ovšem ty máš zadáno něco jiného a to funkci $\cos x$ , která pro hodnoty x v I. a IV. je kladná a ve II. a III. záporná.

xdobia09 · 03. 04. 2014 13:49

Díky je to jasné :)

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2014 19:28

Goniometrické funkce

#2 02. 04. 2014 20:37 — Editoval Freedy (02. 04. 2014 20:40)

Re: Goniometrické funkce

#3 02. 04. 2014 20:41

Re: Goniometrické funkce

#4 02. 04. 2014 20:42

Re: Goniometrické funkce

#5 03. 04. 2014 07:51 — Editoval Honzc (03. 04. 2014 07:56)

Re: Goniometrické funkce

#6 03. 04. 2014 08:16 — Editoval Cheop (03. 04. 2014 08:16)

Re: Goniometrické funkce

#7 03. 04. 2014 10:10

Re: Goniometrické funkce

#8 03. 04. 2014 10:35

Re: Goniometrické funkce

#9 03. 04. 2014 10:42

Re: Goniometrické funkce

#10 03. 04. 2014 10:53

Re: Goniometrické funkce

#11 03. 04. 2014 11:14 — Editoval xdobia09 (03. 04. 2014 11:14)

Re: Goniometrické funkce

#12 03. 04. 2014 11:22

Re: Goniometrické funkce

#13 03. 04. 2014 11:41

Re: Goniometrické funkce

#14 03. 04. 2014 11:49 — Editoval Cheop (03. 04. 2014 11:50)

Re: Goniometrické funkce

#15 03. 04. 2014 11:58

Re: Goniometrické funkce

#16 03. 04. 2014 12:05 — Editoval Cheop (03. 04. 2014 12:06)

Re: Goniometrické funkce

#17 03. 04. 2014 12:08

Re: Goniometrické funkce

#18 03. 04. 2014 13:17

Re: Goniometrické funkce

#19 03. 04. 2014 13:49

Re: Goniometrické funkce

Zápatí