Matematické Fórum

petule16 · 03. 04. 2014 18:03

prosím o návod jak se pustit do řešení příkladu - vyjádřete hodnotu $\sin \frac{17}{12}\Pi$ bez použití goniometrických funkcí ( při výpočtu lze goniometrické funkce použít).

gadgetka

Ahoj, úhel spadá do III. kvadrantu, vyjádřim ho v základním tvaru a pak ten tvar rozložím na součet tabulkových hodnot:

$\sin${\frac{17\pi}{12}}-\frac{5\pi}{12}$=-\sin{\frac{5\pi}{12}}=-\sin${\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}}$$

Pokračovat už pro tebe nebude určitě problém...

vanok · 03. 04. 2014 18:49 — Editoval vanok (03. 04. 2014 18:51)

Poznamka:
Ak chces mozes pouzit aj stvorec strany a, do ktoreho vpises na baze rovnostranny trojuholnik strany a, jeho vnutorny vrchol spojis z vrcholmy stvorca co ti da dalsie tri rovnostranne trojuholniky so zaujimavymi uhlamy.

petule16 · 03. 04. 2014 18:50

↑ gadgetka:
děkuji za návod, pokusím se řešit dál.

petule16 · 03. 04. 2014 19:29

↑ vanok:
dík za zajímavý návod, zkusím to. :-)

gadgetka · 03. 04. 2014 19:55

Možná se to mělo řešit přes komplexní čísla, když je to v názvu tématu... ;)

petule16 · 04. 04. 2014 09:37

↑ gadgetka:
ano, výsledek má být komplexní číslo. goniometrických funkcí lze použít jen při výpočtu. každopádně děkuji za návod, Váš způsob zkusím využít jako zkoušku výsledku.

vanok · 04. 04. 2014 10:14 — Editoval vanok (04. 04. 2014 11:26)

Nie, vysledok je realny.
Ale mozes tiez pracovat z komplexnym cislom $\cos \frac{17}{12}\Pi +i\sin \frac{17}{12}\Pi$ . Je to iste dalsia cesta k rieseniu.

petule16 · 04. 04. 2014 18:25

↑ vanok:
děkuji za zájem o tento příklad, dost mne trápí :-(. podle návodu na součet tab.hodnot jsem spočítala, ale není to požadovaný tvar výsledku. návod na čtverec s trojúhelníkem jsem sice vyrýsovala, ale hledaný výsledek jsem nenašla.
můj další nápad byl - vyrýsovat pravidelný 24-úhelník, zakreslit daný úhel a odečíst souřadnice re a im. počátek jsem volila v reálné jedničce a Im 0.
nápad pracovat s číslem $\cos \frac{17}{12}\Pi +i\sin \frac{17}{12}\Pi$ znamena pracovat s Moivreovou a binomickou větou?

vanok · 04. 04. 2014 19:15 — Editoval vanok (05. 04. 2014 00:02)

↑ petule16:
nápad pracovat s číslem $\cos \frac{17}{12}\Pi +i\sin \frac{17}{12}\Pi$ znamena pracovat s Moivreovou a binomickou větou?
Ano

Poznamka1:
Na tom obrazku zo stvorcom mas rovnorameny trojuholnik z dvomi uhlamy $\frac{5\pi}6$ ... co sa da vyuzit.

je aj tu alenie v radianoch
https://www.google.sk/search?q=pi/6+dan … B273%3B263

Poznamka 2:
ak chces pouzit komplexne cisla ( za kazdu cenu).
to urcenie, tvojho sinusu, sa mi zda komplikovane tou cestou (i ked sa mozem mylit).
V pripade ze najdes tvoj sinus (a tiez kosinus) vypoctamy napr vdaka tomu stvorcu ... (= jednoduchy Pythagoras)
POTOM mozes overit ten najdeny vysledok vdaka tej komplexnej metode... i ked sa mi to zda skor neprirodzene.

Poznamka 3:
dalsia mozna cesta, je vyuzitie roznych trigonometrickych vzorcov
pre polovicny uhol (1/2 PI/6).
a vyuzitie ze PI/2=PI/6+5PI/6.

Poznamka 4
alebo mozes pozriet na youtube
http://www.youtube.com/watch?v=s2-FyxiC6XI
kde mas sin PI/12, co da potom lahko tvoj vysledok.
Inac tvoje presne zadanie cvicenia bolo ake?

Jj · 04. 04. 2014 19:30

↑ petule16:

Dobrý večer,
a co vyjádření pomocí hyperbolického sinu - $\sin \frac{17}{12}\pi = -isinh(i\frac{17}{12}\pi)$ což je podle WA = $-\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

vanok · 04. 04. 2014 19:48 — Editoval vanok (05. 04. 2014 13:19)

↑ Jj:
Pozdravujem, pochopitelne mas pravdu.
Na tomto cviceni, je titul komplexne cisla; a bolo by treba najst elegantnu cestu ( nie tuto co ma napadla):
Ide o toto, ze som sa k tomu vysledku dostal oklukou cez $\pi/5$ ale trochu umelo a to vdaka $\pi /4$ , $\pi/ 6$
(a to je pricina preco som to zatial neporadil kolegyni)
To by som zacal asi takto
$1 + i = \sqrt 2 \cdot (\cos (\p i/4) + i \cdot \sin(\pi /4))$
a tiez
$\sqrt 3 - i = 2\cdot (\cos(11\pi /6) + i \cdot \sin(11\pi /6))$
co da
$(1+i)(\sqrt 3-i)= ....$
.... po klasickych vypoctoch

$\cos(\pi/12) = (\sqrt 3 + 1)/(2 \sqrt 2) = (\sqrt 6 + \sqrt 2)/4$
a
$\sin (\pi/12) = (\sqrt 3 - 1)/(2\sqrt 2) = (\sqrt 6 - \sqrt 2)/4$

A to po poslednych upravach da hladany vysledok.

petule16 · 05. 04. 2014 19:18

↑ Jj:
děkuji za příspěvek

petule16

děkuji za další příspěvky. k výsledku

$- \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ ↑ vanok:

jsem se dostala hned na začátku velmi rychle, ale bohužel v zadání je, že výsledkem musí být komplexní číslo. projdu podrobně všechy příspěvky a budu počítat dál

vanok · 05. 04. 2014 20:02

↑ petule16:,
Tak ten posledny, co sa mi zda trochu umely ↑ vanok:, ti asi naviac pomoze.

Ako vidis, jeden problem a da sa z tym pobavit.

petule16 · 09. 04. 2014 08:42

↑ vanok:
tak jsem se několika výše popsanými způsoby dostala ke správnému výsledku. autor příkladu požadoval řešit výhradně komplexními čísly a to tedy použitím

$\sin 2\frac{17\Pi }{12} \sim (\sin \frac{17\Pi }{12}+....)^{2}$

a dál pracovat pouze s binomickou a Moivreovou větou
a použila jsem tvé pomůcky

$1 + i = \sqrt 2 \cdot (\cos (\p i/4) + i \cdot \sin(\pi /4))$

$\sqrt 3 - i = 2\cdot (\cos(11\pi /6) + i \cdot \sin(11\pi /6))$

$(1+i)(\sqrt 3-i)= ....$

a je vyřešeno :-), děkuji mnohokrát za pomoc

vanok · 09. 04. 2014 10:04

↑ petule16:,
Vyborne!
Dobre pokracovanie.

darlanna · 11. 05. 2014 17:31

↑ petule16:

Dobrý den, řeším podobný příklad a hledám inspiraci ve Vašem řešení, shrnutí v příspěvku #17 mi ale bohužel není úplně jasné:

$\sin 2\frac{17\Pi }{12} \sim (\sin \frac{17\Pi }{12}+....)^{2}$

Byla byste prosím tak hodná a jen stručně nastínila, jaký byl začátek postupu?
Moc děkuji.

darlanna · 24. 05. 2014 18:01

↑ darlanna:

Tak jsem nakonec došla ke dvěma úspěšným způsobům řešení, pro oba je východiskem

$\sin({\frac{17\pi}{12}})=\sin({\frac{9\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}})=\sin({\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}})$

a potom lze řešít
a) pomocí vzorce pro sinus součtu úhlů, pokud není podmínka využítí komplexních čísel,
b) pomocí vzorce pro násobení goniometrického tvaru komplexních čísel, tzn.

$\cos({\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}})+i\sin({\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}})=(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}})(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}})$

Obojí vychází $\frac{-\sqrt 2-\sqrt6}{4}$

Východisko, že při výpočtu goniometrické funkce využít lze znamená, že je povoleno vyčíslovat sin a cos úhlů, u kterých výsledek známe (např. $\cos\frac{3\pi}{4}$ , $sin{\frac{2\pi}{3}}$ )

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2014 18:03

komplexní čísla

#2 03. 04. 2014 18:16 — Editoval gadgetka (03. 04. 2014 18:17)

Re: komplexní čísla

#3 03. 04. 2014 18:49 — Editoval vanok (03. 04. 2014 18:51)

Re: komplexní čísla

#4 03. 04. 2014 18:50

Re: komplexní čísla

#5 03. 04. 2014 19:29

Re: komplexní čísla

#6 03. 04. 2014 19:55

Re: komplexní čísla

#7 04. 04. 2014 09:37

Re: komplexní čísla

#8 04. 04. 2014 10:14 — Editoval vanok (04. 04. 2014 11:26)

Re: komplexní čísla

#9 04. 04. 2014 18:25

Re: komplexní čísla

#10 04. 04. 2014 19:15 — Editoval vanok (05. 04. 2014 00:02)

Re: komplexní čísla

#11 04. 04. 2014 19:30

Re: komplexní čísla

#12 04. 04. 2014 19:47 Příspěvek uživatele Sherlock byl skryt uživatelem Aktivní.

#13 04. 04. 2014 19:48 — Editoval vanok (05. 04. 2014 13:19)

Re: komplexní čísla

#14 05. 04. 2014 19:18

Re: komplexní čísla

#15 05. 04. 2014 19:50 — Editoval petule16 (05. 04. 2014 19:52)

Re: komplexní čísla

#16 05. 04. 2014 20:02

Re: komplexní čísla

#17 09. 04. 2014 08:42

Re: komplexní čísla

#18 09. 04. 2014 10:04

Re: komplexní čísla

#19 11. 05. 2014 17:31

Re: komplexní čísla

#20 24. 05. 2014 18:01

Re: komplexní čísla

Zápatí