Matematické Fórum

Makakpo

Najdi inverznu funkciu k funkcii f:
$1,f(x)=x^3 2,f(x)=2x+1 3,f(x)= 3x^2 - \frac{1}{2}$

Viete mi poradit ako na to? Pri tej prvej by som mozno vedel ze to bude $f(x)^{'} \sqrt[3]{x}$ ale tie dalsie uz neviem.

janca361 · 04. 04. 2014 21:03

↑ Makakpo:
inverzní funkce se sestaví záměnou definičního oboru s oborem hodnot a x a y

pro funkci:
$f(x)=2x+1$

$x=2y+1 \Rightarrow y=...$

A inverzní funkce se zapisuje $f^{-1}$ . $f'$ je zápis pro derivaci.

Makakpo

ospravedlnujem sa za dva krat tu istu temu, nejakym nedopatrenim mi to dvakrat poslalo. A pre $f(x)=2x + 1$ nema byt inverzna funkcia nahodou $x= \frac{(y-1)}{2}$ ?? Prehodil som x a y.

janca361 · 04. 04. 2014 21:28

↑ Makakpo:
Nevím, jak u vás, ale u nás se funkce zapisují $y=...$
V tomto případě to bude $f^{-1}:y=\frac{x-1}{2}$

Původní funkce je $y=2x+1$ . Prohodím proměnné $x=2y+1$ a vyjádřím y a dostanu výše uvedený tvar.

Jinak inverzní funkci lze hledat pouze k funkci, který je prostá, což $y=x^{3}$ ani $y=3x^{2}-\frac{1}{2}$ na celém definičním oboru nejsou.

Makakpo

aha no jasne, mate pravdu uz chapem .. ok dakujem. Takze x^3 inverznu funkciu na definicnou obore vsetkych realnych cisel mat nebude ale povedzme na intervale $(0, 10)$ bude $y^3$ ?

janca361 · 04. 04. 2014 21:38

↑ Makakpo:
Ano, na celém R mít inv. funkci nebude, ale protože existence inverzní funkce je podmíněna tím, že funkce ke které hledám inverzní funkci musí být prostá, což $y=x^{3}$ (na R) není.
Na intervalu $(0, 10)$ ji mít bude: $x=y^{3} \Rightarrow y=\sqrt[3]{x}$

Funkce vyjadřujeme implicitně. tj. ve tvaru $y=...$ .

Makakpo

aha .. myslim ze uz chapem, takze napr. funkcia $y=x^2-4$ bude $x=y^2 + 4$ ?? Moj postup: najprv som vyjadril z povodnej funkcie x, cize: $y=x^2 - 4 , x=\sqrt{y+4}$ a teraz prehodim x a y a dostanem $y= \sqrt{x+4}$ samozrejme definicny obor $(0,14)$ dajme tomu.

vanok · 04. 04. 2014 22:11 — Editoval vanok (05. 04. 2014 15:18)

poznamka: 1
vysie je chyba co sa tyka tretej mocniny.
Skutocne
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};x \mapsto x^3$ je bijektivna.

poznamka 2:
a mame
$f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}; x\mapsto \sqrt[3]x$

POZNAMKA 3
Taketo zapisy z kompletnou charakterizaciou aplikacie su presne, a jasne. Skoda, ze sa to tu na fore tak malo pouziva.

poznamka 4:
ine inverzne funkcie v tomto vlakne som vobec nekontroloval!

janca361 · 04. 04. 2014 22:28

↑ vanok:
Ahoj,
nevím, jak je tomu na VŠ (a ještě se to může lišit škola od školy), ale u nás (gympl) se značí inverzní funkce k funkci $f$ $f^{-1}$ , ovšem než takovou funkci vytvořím je třeba zapsat $D_f$ - definiční obor funkce (a nejlépe i $H_f$ - obor hodnot) a ohlídat si, že je funkce na CELÉM definičním oboru prostá. Potom bude $D_{f^{-1}}=H_f$ a $H_{f^{-1}}=D_f$ . O vytvoření předpisu jsem psala výše.
Přiznám se, že tvůj zápis vidím poprvé.

janca361 · 04. 04. 2014 22:35

↑ Makakpo:
Nejlepší je určit interval ještě před vytvořením inverzní funkce. Takže u funkce $f: y=x^2-4$ $D_f=(0;14)$ $H_f=(-4;192)$ (je třeba pro $D_{f^{-1}}$ ).
Jelikož funkce f je prostá mohu vytvořit inverzní funkci $f^{-1}$ . $x=y^2 + 4$ po vyjádření $f^{-1}: x=\sqrt{y+4}$ $D_{f^{-1}}=(-4;192)$ (ověřit si můžeš to, že nevzniká nesmyl, kdy je pod odmocninou záporné číslo a to nelze!) Obor hodnot bude $D_f$ zadané funkce.

jelena · 04. 04. 2014 23:49

↑ janca361:

Zdravím,

poznámka kolegy ↑ vanok: se pravděpodobně vztahuje k faktu, že funkce $y=x^{3}$ je prostá na celém R. Jinak máš pravdu - při práci s funkci vždy začínat s def. oborem a při tvorbě inverzní funkce také s oborem, kde je prostá.

Ohledně označení: mám dojem, že na SŠ se moc nepracuje se zobrazením. K zápisu inverzní funkce byla poznámka kolegů a výzva Mariana k dalším příkladům označení. V Didaktice téma k inverzním funkcím je, ale jak posbírat kolegy z více témat k debatě, to teď nevím :-)

Dotaz pro autora tématu - jaké materiály používáš pro studium? Děkuji.

vanok · 04. 04. 2014 23:52 — Editoval vanok (05. 04. 2014 15:22)

↑ janca361:,
Najprv sme tu na sekci vysoka skolach. Aj ked dane cvicenie by mohlo byt riesenie uz na strednej skole, netreba zabudnut, ze ide o vysoskolske cvicenie.
To si si dobre videla, ze aj ja znacim ako ty inverznu funkciu ( i ked presne je povedat inverznu aplikaciu).
Som napisal, ze islo o bijektivnu funkciu ( co to znamena?)
Specialne je tak aj injektivna (= prosta).... A to je ta chyba o ktorej som pisal!.( ako si to uz poznamenala)

To oznacenie zo sipkamy uvidis este, a tak mas stastie ze si sa nieco nove dnes naucila ( a je skoda ze sa to u vas nepouziva uz na strednej skole).

A este jedna dolezita poznamka:
Ak sa najde inverzna funkcia (aplikacia), je normalne overit, ze to je skutocne pravda. Cize overit ze $f°f^{-1}=id$ na vhodnej mnozine ( ktorej?)
A tiez ze $f^{-1}°f= id$ na vhodnej mnozine, Pozor vseobecna tato funkcia identita nie je definovana na tej istej mnozine ako ta predosla. ( na ktorej je definovana?)
Tak dobru noc.
Édit. Vies aky je rozdiel medzi funkciou a aplikaciou?

Makakpo

jelena napsal(a):
jaké materiály používáš pro studium?

jelena ja cerpam iba z wikipedie a z tohto fora ..

jelena · 05. 04. 2014 09:42

↑ Makakpo:

děkuji, pokud tomu dobře rozumím, tak nestuduješ na některé škole, ale z vlastního zájmu, jen samostudiem? Tak jsem si vyložila dotazy takového rázu a úvodní příspěvky Tvých témat. A tedy jasné, že ze školy nějakou doporučenou literaturu a strukturu kurzu nemáš.

V takovém případě bych velmi doporučovala si obstarat přehlednou učebnici, abys strukturu kurzu měl před sebou a mohl se případně vracet nebo se podívat dopředu, co k čemu patří a jak navazuje. Zkus se zastavit pro začátek v knihovně, nebo se podívat po antikvariátech, případně u kolegy: http://gurumaster.rajce.idnes.cz/Knihy_matematika/ Případně online, například - v závěru kapitol jsou odkazy i na příklady.

Používáš MAW a další nástroje pro kontrolu výsledků? Děkuji.

Makakpo

Ano,matematiku preberam len tak pre seba. Ty jo tych matematickych knih je tam riadne vela. Dakujem velmi!!! A co je to MAW?

jelena · 05. 04. 2014 17:27

↑ Makakpo:

děkuji, potom je to pochopitelné. Ještě přidám kontakt na kolegu, co má knihy - je to autor tématu. Jinak z online materiálů hodně přehledně je udělán tento z VŠB a jsou v tom i videa řešení s kvalitním komentářem.

MAW je tento projekt a je součást užití počítačových systémů ve výuce - můžeš projít příklady použití a vzory vložení. Dobře se hodí na kontroly.

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2014 20:48 — Editoval Makakpo (04. 04. 2014 20:50)

Inverzna funkcia

#2 04. 04. 2014 21:03

Re: Inverzna funkcia

#3 04. 04. 2014 21:23 — Editoval Makakpo (04. 04. 2014 21:25)

Re: Inverzna funkcia

#4 04. 04. 2014 21:28

Re: Inverzna funkcia

#5 04. 04. 2014 21:32 — Editoval Makakpo (04. 04. 2014 21:32)

Re: Inverzna funkcia

#6 04. 04. 2014 21:38

Re: Inverzna funkcia

#7 04. 04. 2014 21:52 — Editoval Makakpo (04. 04. 2014 21:55)

Re: Inverzna funkcia

#8 04. 04. 2014 22:11 — Editoval vanok (05. 04. 2014 15:18)

Re: Inverzna funkcia

#9 04. 04. 2014 22:28

Re: Inverzna funkcia

#10 04. 04. 2014 22:35

Re: Inverzna funkcia

#11 04. 04. 2014 23:49

Re: Inverzna funkcia

#12 04. 04. 2014 23:52 — Editoval vanok (05. 04. 2014 15:22)

Re: Inverzna funkcia

#13 05. 04. 2014 00:59 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 01:01)

Re: Inverzna funkcia

jelena napsal(a):

#14 05. 04. 2014 09:42

Re: Inverzna funkcia

#15 05. 04. 2014 16:09 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 16:11)

Re: Inverzna funkcia

#16 05. 04. 2014 17:27

Re: Inverzna funkcia

Zápatí