Matematické Fórum

liamlim

Dobrý večer,

Dnes jsem odvodil zajímavý vztah. Rozhodl jsem se to napsat sem na fórum, kdyby se někdo chtěl také pokusit o důkaz.

Dokažte, že pro každá přirozená $a,b$ platí

$(n+1)^{a+1} - 1 = \sum_{k=0}^{a}{a+1\choose k}(1^k+2^k + \cdots + n^k)$

pozn.: Odsud jde snadno vyjádřit $1^a+2^a+\cdots + n^a$ a tuto hodnotu součtu vyjádřit za pomoci znalosti všech předcházejících $a$ součtů. Bohužel nejde odvozovat některé zajímavé vztahy, které šlo odvodit pomocí předchozího postupu.

liamlim

Zřejmě z předchozího také platí

$n^a = 1 + \sum_{k=0}^{a-1}{a\choose k}(1^k+2^k+\cdots + (n-1)^k)$

Protože toto platí pro libovolné $a$ a $n$ přirozené, napadlo mě, že by šlo Velkou Fermatovu větu trochu pozměnit v tvrzení:

Pro žádná přirozená $a,b$ a přirozené $n$ neexistuje $c$ takové, že:

$2 + \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}\left(2\cdot 1^k + 2\cdot 2^k + \cdots + 2\cdot(\min(a,b)-1)^k + (\min(a,b))^k + \cdots + (\max(a,b) - 1)^k\right) = c^n$

Edit:
Jinými slovy, velká fermatova věta je ekvivalentní s tvrzením ( $1^a+2^a + \cdots + n^a = s_a(n)$ )

Neexistují přirozená $a,b,c$ taková, že

$1 + \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}s_k(a-1) + \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}s_k(b-1) = \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}s_k(c-1)$

edit2: Přitom $n$ v těchto rovnicích má význam $n$ v rovnosti $a^n+b^n = c^n$

edit3: Vyzkoušejte dosadit $n=1$ a $n=2$ . Vyjdou pouze znovu rovnosti $a^n+b^n = c^n$ pro $n=1$ resp. $n=2$

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2014 20:21 — Editoval liamlim (05. 04. 2014 21:46)

součty

#2 05. 04. 2014 21:54 — Editoval liamlim (05. 04. 2014 22:12)

Re: součty

Zápatí