Matematické Fórum

firework555 · 05. 04. 2014 11:15

Dobry den,

vedel by mi prosim niekto poradit, jestli je faktorokruh $\mathbb{Z}_3[x]/(x^3 + 2x + 1)$ telesem?? Dakujem mockrat ; osobne vidim akurat len, ze ten polynom nema v $\mathbb{Z}_3$ koren.

vanok · 05. 04. 2014 14:28

Ahoj ↑ firework555:,
Tvoj polynom je ireduktibilny ( preco?).
Tak vyuzi zname vlasnosti o telesach....

firework555 · 05. 04. 2014 15:51

no pretoze nema koren, tak je ireducibilny, nie?
mam vyuzit teda existencie inverzu v telese? ale neviem ku ktoremu prvku hladat inverz....

vanok · 05. 04. 2014 20:40 — Editoval vanok (05. 04. 2014 20:40)

↑ firework555:,
Ta irrectubilita nie je taka jednoducha ako pises
Napr v Z3 $X^4+2X^2+1$ nema koren, ale je reduktibilny.

Ale akoze to je pravda, v tvojom pripade, mozes popisat teleso $\mathbb{Z}_3[x]/(x^3 + 2x + 1)$ !... Kolko ma prvkov?
Co si o tom videl na prednaskach?

À co studujes? Odbor, skola, rocnik!

firework555 · 05. 04. 2014 21:20

no to ja viem, ze polynomy 4.stupna sa mozu rozkladat na dva polynomy stupna 2, ale ked mam polynom tretieho stupna, to inak nepojde.... no prvkov bude asi 3^3 ? no druhacka obecna algebra to je , na mff praha

vanok · 05. 04. 2014 21:37

↑ firework555:,
Ano to je dobry argument na tu irréductibilitu ( ale aj na skuske, ak nepovies jedno slovicko co treba, to ti moze byt osudne)

V tvojom novom telese mozes povazovot ze mas novy prvok ( ktory nie je v Z3) oznac ho napr $\alpha$ , tàky ze $\alpha^3+ 2\alpha +1=0$
To ti umozni vyjadrit vsetki prvky noveho telesa vo forme $a.1+b.\alpha+c.\alpha^2$ ( a,b,c v Z3) cize mas ich vsetki....
À kazdy nenulovy ma svoj inverze.
Dokazes ich najst?

firework555 · 06. 04. 2014 09:18

takže napriklad, ak a=0, b=1, c=0 (pre jednoduchost), tak $\alpha .\alpha ^{-1} = 1$ , proste $\alpha ^{-1}$ mi lezi taky v tom telese ako inverz?

vanok · 06. 04. 2014 11:34 — Editoval vanok (06. 04. 2014 11:35)

Pochopitelne ( inac by to nebolo teleso)
Ale treba ho vediet urcit v tej forme... A dokonca vediet urobit aj tabulku vsetkych nasobeni v telese.
Napr $\alpha^{-1}=1-\alpha^2$ .
Dokazes to urobit pre kazdy nenulovy prvok?

firework555 · 06. 04. 2014 12:55

Nerozumiem, ako ste dostali prosim $\alpha^{-1}=1-\alpha^2$ ???

vanok · 06. 04. 2014 13:42 — Editoval vanok (06. 04. 2014 15:01)

No s tym sa treba vediet pohriat.
Moze pomoct, vypocitat vopred mocniny $\alpha$
Ale iste v skole ste sa s tym cvicili.

Ak konkretne mas otazku napis.

Édit.
Priklad2.
Prepac, ze opakujem nieco co ste povinne videli na cviceniach.
Uvazuj napr $1+\alpha + \alpha^2$
chces najst jeho inverz
Ten ako sme to uz prizvukovali je v telese, a tak je formy aku som vyssie uviedol. Cize ak vynasobis $1+\alpha + \alpha^2$ s tym " vseobecnym" prvkom, po zjednoduseni vyssich mocnin alphy ako 2 sucin je tiez v vo vseobecnej forme. Akoze vyzadujes aby bol 1... Problem prejde na jednoduchy linearny system neznamych a, b, c v Z3.
Podobne sa mozu riesit aj urcite rovnice v telese.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2014 11:15

faktorokruh

#2 05. 04. 2014 14:28

Re: faktorokruh

#3 05. 04. 2014 15:51

Re: faktorokruh

#4 05. 04. 2014 20:40 — Editoval vanok (05. 04. 2014 20:40)

Re: faktorokruh

#5 05. 04. 2014 21:20

Re: faktorokruh

#6 05. 04. 2014 21:37

Re: faktorokruh

#7 06. 04. 2014 09:18

Re: faktorokruh

#8 06. 04. 2014 11:34 — Editoval vanok (06. 04. 2014 11:35)

Re: faktorokruh

#9 06. 04. 2014 12:55

Re: faktorokruh

#10 06. 04. 2014 13:42 — Editoval vanok (06. 04. 2014 15:01)

Re: faktorokruh

Zápatí